53744 img030 (46)

przyjmuje postać

przyjmuje postać

G0	-»o		re U„		XQ.Jg
*0	0) : 0 1 _		im U0		im J0

(2.60)

W celu wyznaczenia rozwiązania układu równań (2.60) można wykorzystać algorytm eliminacji Gaussa lub algorytm dekompozycji LU w wersji opisanej dla układów o współczynnikach rzeczywistych.

NIELINIOWYCH

Rozdział ten jest poświęcony omówieniu podstawowych metod rozwiązywania równań

I    iildmlów równań nieliniowych zadanych w przestrzeni R", gdzie wymiar n przestrzeni jest lóuny liczbie równań. Algorytmy są formułowane jako algorytmy wyznaczania przybliżonych in wiązań. Formuły dokładne istnieją jedynie dla bardzo szczególnych typów równań.

W podrozdziale pierwszym opisano podstawowe metody znajdowania przybliżonych u tu',ci rozwiązań dla jednego równania z jedną niewiadomą. Tematem podrozdziału drugiego u ,i algorytm iteracji prostej oraz algorytm Newtona-Raphsona. Algorytm iteracji prostej jest pi ul ,lawowym algorytmem rozwiązywania układów równań nieliniowych. Ma on również pi ul, i.iwowc znaczenie dla analizy teoretycznej. Zastosowanie algorytmu iteracji prostej

II    analizie układów równań liniowych jest omawiane szczegółowo w rozdziale czwartym.

Algorytm Newtona-Raphsona został przedstawiony jako rozszerzenie algorytmu stycznych na układy równań a z drugiej strony, algorytm ten został sformułowany jako algorytm iteracji pi osiej zastosowany do układu równań przekształconego do postaci równoważnej.

\ 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych

I ematem podrozdziału są wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań Ipierwiastków) równań algebraicznych postaci

/(*)= 0,    (3.1)

cl u- /( ) jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x, /(■): R 3 x->j{x) e R. Znajomość meliul przybliżonych ma w praktyce znaczenie podstawowe, ponieważ wzory dokładne na pu iwiaslki otrzymane jako wynik skończonej liczby elementarnych działań algebraicznych 11 li im marnych odwzorowań można przedstawić jedynie dla niewielu grup równań (3.1). .'nuli zienic dokładnych wartości pierwiastków równania nie jest też na ogół konieczne, gdyż umil,uua otrzymuje się często w postaci przybliżonej i zadanie wyznaczenia pierwiastków u, iui|r się w praktyce obliczeniowej za rozwiązane, jeżeli zostaną one otrzymane z żądaną iluk ludnością. Możliwość oszacowania błędu obliczeniowego jest tu niezwykle istotna. Na iipnl |esl to zadanie trudne i z konieczności stosuje się oszacowania niepełne.

Większość metod przybliżonych rozwiązywania równań (3.1) opartych jest na algo-i .iiii.ii li nieskończonych wykorzystujących ciągi iterowane kolejnych przybliżeń, zbieżne pi s spełnieniu odpowiednich założeń do zbioru rozwiązań danego równania. Omawiane łilgniylmy należą do najczęściej wykorzystywanych w przypadku rozwiązywania równań postaci ogólnej (3.1). Ich przedstawienie nic wyczerpuje oczywiście całości zagadnienia. W nul metod o podstawowym znaczeniu należy tu jeszcze wymienić przede wszystkim nu imię iteracji prostej, która jest omawiana szerzej w podrozdziale 3.2.1, a następnie grupę