48283 img456

a więc sieczna stałaby się prostą k, którą nazywamy -.tyc /ną do wykresu funkcji / w punkcie P, Oznaczmy kąt nachylenia prostej k do osi OX przez a.

Jeśli h -> 0, to tg [i -» tg a, /(^x9 ⁺ h) - f(x₀) ffo), czyli współczynnik

h

kierunkowy prostej k jest równy /'(x₀),

tg a = f'(x₀).

Uściślimy teraz termin styczna do wykresu funkcji.

DEFINICJA 4.

Niech funkcja / będzie określona w pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀ i różniczkowana w tym punkcie. Styczną do wykresu funkcji / w punkcie (x₀, /(x₀)) nazywamy prostą opisaną równaniem

y-/(*o) = /'(*>) ■ (x~Xq).

Przykłady dotyczące znajdowania równania stycznej omówimy w dalszej części rozdziału, kiedy będziemy umieli obliczyć /'(x₀) w inny sposób, nie korzystając bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji w punkcie.

Własności pochodnej funkcji w punkcie

Podamy teraz twierdzenie, które przedstawia podstawowe reguły różniczkowania funkcji.

Jeżeli funkcje / i g są określone w przedziale otwartym D i różniczkowalne w punkcie x₀ e D, to funkcja:

a)    c • /, gdzie c e R, jest różniczkowalna w punkcie x₀ i

{<= ■ /)'(*o) = C • /'(x₀)

(mówimy: stałą można wyłączyć przed znak pochodnej);

b)    / + g jest różniczkowalna w punkcie x₀ i

(/ + 9)'{xo) = f’{xo) + 9' (x₀)

(mówimy: pochodna sumy jest równa sumie pochodnych);

c)    / - g jest różniczkowalna w tym punkcie i

if-g)'{xo) = f'{xo) -g'{xo)

(mówimy: pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych);

d) / • g jest różniczkowalna w punkcie x₀ i

(/ • 9)'(xo) = f'(*o) • 9(*o) + /(*o) • 9’(xo) (jest to wzór na pochodną iloczynu);

e) - jest różniczkowalna w punkcie x₀ (przy dodatkowym założeniu: g (x₀) * O)

g

^rf\, _x f'{x₀) -g(x₀) - /(x₀) • g' (x₀)

- (x₀) = -

[g(*o)]‘

(jest to wzór na pochodną ilorazu).

Dowód.

Ad a) Aby wykazać tę część tezy, weźmy pod uwagę granicę ilorazu różnicowego funkcji c • / w punkcie x₀:

(c • /) (x₀ + h) - (c • /) (x₀) _ _|jm c - [/(x₀ + ń)j - c ■ [/(x₀)j

lim

h

h-+0

h

z definicji funkcji c • /

= lim c ■ ^ ⁺ » ~ ^ = c- lim ± ^h4 ~ fW> = c. /■(x₀).

h-+o    h    _t    /!-> O    h    t

b->0

twierdzenie 3a, str. 17.

z założenia, że funkcja / jest różniczkowalna w punkcie x₀

(c • /) (x_Q + h) - (c • /) (x₀)

Istnieje zatem skończona granica Hrn

funkcja c ■ / jest różniczkowalna w punkcie x₀. Ponadto z powyższych równości wynika też wzór występujący w tej części tezy twierdzenia.

co oznacza, ze

Ad b) Obliczamy

_Hm (/ + 9) (x₀ + h)-(f + g) (x₀) _ _|jm U{x₀+h)+g{x_Q+h)] - [/(x₀)+g(x₀)] _

Ti—>0

z definicji sumy funkcji

lim

/i->0

/(x₀+ń) - / (xp) ₊ g{x₀+h) -g{x₀)

Z założenia o różniczkowalności funkcji / i g w punkcie x₀ wynika, że istnieje skończona granica przy h dążącym do zera każdego ze składników w ostatnim nawiasie (równa /'(x₀) dla pierwszego z nich i g'(x₀) dla drugiego). Korzystając teraz z twierdzenia o granicy sumy funkcji, obliczamy: