68296 SPOM03

F

Zadanie 6: Stwierdzono, że adekwatnym modelem zależności napięcia wyjściowego u ¹ czujnika temperatury od temperatury T jest równanie: u-aT^b. Do wyznaczenia estymat parametrów tego modelu, o i i, zastosowano metodę najmniejszych kwadratów po uprzedniej jego linearyzacji polegającej na następującej zamianie zmiennych: .v= log₂(7j, y - log₂(«). Oszacować

obciążenie estymaty b parametru b, wiedząc, że do estymacji wykorzystano następujące dane:

y„ = z* - 1 = (z„ + Az„)'¹ - 1 = z* - 1 + 2r„Az„ + Az,;

e[ą>/ _t J = 2r_llE[&s_ll] + e[Az^] = er/ dla n = 1,2,3,4 Ap = (X'X)‘'x^r£(^]-|

1 OT 1 0 1 0 0 10 10 1

n	1	2	3
t„	0.50	1.00	2.0
	0.51	0.98	8.3

Założyć, że błędy pomiaru temperatury są pomijalne, a względne błędy pomiaru napięcia mogą być modelowane niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowych średnich i wariancji er] - 0.014 .

Rozwiązanie: Zlinearyzowany model ma postać: y = Po + P\X, gdzie p₀ = log₂(zz), /?, = b Dla tego modelu:

'3 0“

X =

-1 0 1

, xx =

0 2

, (x^rx)- =

r .

Estymata wektora parametrów p = [/?₀ P\ \ jest rozwiązaniem równania normalnego

11 X	1/3	1/3 1/3"	y\	r
	-1/2	0 1/2	h	=
			.>'3.	^L

1/3    0

0 1/2

(?i +Ji +5^r})/3

fe - ) / 2

Stąd:

^h ~ P\ =    “ Jj) = j[^lo82(»3) " ^Io8z ("i)] = {log_?(n₃ / <7,) = ^ log₂

ó = -log₂

ńj(l + f₃

ó|(l+£|)

* ^s 21,7(571 C> - *> - 2-> ~ 2^r> * ■' M

F.I Ab I =    — 1:1 ł*. - a, - —    — e~. +    I - ———f - -a: -o.r I - -    7-. •

21.K2)‘r ⁵    2 ~'    I”'    |    2in(2)    2~"    2^V> ‘ 2li&

f