79707 img434 (2)

światła jest prędkość obiektu v, tym większa jest masa tego obiektu.

Musimy użyć granic jednostronnych, zawsze bowiem mamy v < c (takie założę nie przyjął Einstein w swej teorii). Gdyby było v > c, wówczas oba wyrażeniu podpierwiastkowe byłyby ujemne i pierwiastki nie byłyby liczbami rzeczywistymi.

1.3. Asymptoty wykresu funkcji Asymptoty pionowe

W drugiej klasie, przy okazji omawiania wykresu funkcji homograficznej, mówi liśmy o asymptotach pionowych i poziomych wykresu. Omówimy teraz problem asymptot dokładniej.

Rozpocznijmy znów od kilku przykładów.

2x + 1

Niech f(x) = ^    ^ . Zbadajmy, jak zmieniają się wartości tej funkcji dla argu

mentów z sąsiedztwa miejsca zerowego jej mianownika, czyli punktu x₀ = 2. Zauważmy, że

5

t

lim f(x)

x->2^{_J v} '

= —oo

2x + 1 lim _F

x—>2~ 3x - 6

~~T~

Or

oraz

lim, f(x) = lim 3* ⁺ J = +oo.

*->2+ ^J v '    x->z\ 3x - 6

~T~

0⁺

Niech teraz f(x) =

. Tym razem mamy:

Z drugiej klasy wiesz, że wykres tej funkcji ma pionową asymptotę o równaniu x- 2. 3

(x+ 1)^;

= +00

lim f(x) = lim ---r

Vj__

V

4

oraz

0⁺

lim , f(x) = lim , --—

x->-1⁺(x+1)²

W klrt^lr Ir/eciej dowiedziałeś się, że wykres funkcji f(x) = - ₊    , ma

Mfeymptotę pionową o równaniu x = -1.

W ijIju powyższych przykładach granice jednostronne w badanym punkcie ist-ule są niewłaściwe. Czasem może być jeszcze inaczej.

Niw h f (x) = log₂x. Wykorzystując wiadomości o logarytmach, możemy zauwa-»v*. żr llm ₊ /(x) = -oo. Nie można natomiast mówić o granicy lewostronnej fl punkcie x₀ = O. A więc w punkcie x₀ = O jest tylko granica prawostronna nie-lwu. Z wykresu funkcji logarytmicznej widać, że nasza funkcja jest określona tyik<> w prawostronnym sąsiedztwie punktu x₀ = O i prosta x = O jest asymptotą pionową wykresu tej funkcji.

hiwlrmy, że w dwóch pierwszych przykładach asymptoty pionowe są obu-Ufonne (funkcje są określone w sąsiedztwie punktu x₀ i obie granice jedno-Mfonne tych funkcji w tym punkcie są niewłaściwe), natomiast w przykładzie iMw Im prosta x = O jest tylko asymptotą pionową prawostronną wykresu tej funkcji (funkcja jest określona tylko w prawostronnym sąsiedztwie punktu x₀ I granica prawostronna funkcji w tym punkcie jest niewłaściwa).

■HNICJII.

Msch funkcja / będzie określona w prawostronnym (lewostronnym) sąsiedzkie punktu x₀. Prosta o równaniu x = x₀ jest prawostronną (lewostronną)

■ymptotą pionową wykresu tej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy lim₊ f(x) = -oo

X—>X₀

||Ub llm_i f(x) = +oo (lim /(x) = -c» lub lim /(x) = +oo).

H" kXf j    X—>X₀    X )X₀

C/flNami zamiast mówić, że prosta o równaniu x = x₀ jest prawostronną (lewo-Itronną) asymptotą pionową wykresu funkcji, mówimy, że wykres funkcji ma W punkcie x₀ asymptotę pionową prawostronną (lewostronną).

Wnll prosta o równaniu x = x₀ jest jednocześnie asymptotą pionową lewo-Utanną i prawostronną wykresu funkcji /, to nazywamy ją asymptotą obustronną wykresu tej funkcji lub krótko asymptotą pionową wykresu tej funkcji (lub mówimy, że wykres funkcji ma w punkcie x₀ asymptotę pionową obustronną lub, krótko, asymptotę pionową).