img063 (22)

68

z którego otrzymuje się składowe wektora .v₍₂) - x₍i), a następnie składowe wektora x₍₂) drugiego przybliżenia rozwiązania.

Procedura kontynuowana jest iteracyjnie aż do momentu spełnienia w pewnym kroku k+ 1 warunków

||/(*m)| ^<s •	(3.102)
|*m “*(*)!< ®	(3.103)-

zakończenia obliczeń. Otrzymany w kroku k+1 wektor jt(*+i) zostaje przyjęty jako przybliżone rozwiązanie danego równania (3.77).

Jeżeli w wyniku realizacji określonej liczby kroków algorytmu nie zostaną spełnione warunki zakończenia obliczeń, dokonuje się wyboru nowego punktu początkowego x₍₀₎ dla iteracji. Obliczenia wykonywane są od początku według opisanej kolejności.

Nowy punkt początkowy .v₍₀) dla iteracji jest ustalany również wtedy, gdy po wyznaczeniu przybliżonej wartości pewnego rozwiązania poszukiwane są następne pierwiastki równania.

Jak wspomniano, najbardziej pracochłonną częścią obliczeń jest numeryczne wyznaczanie macierzy Jacobiego w każdym kolejnym kroku k+1 iteracji. W celu zmniejszenia nakładu obliczeniowego i przyspieszenia obliczeń przy rozwiązywaniu układów złożonych z dużej liczby równań, stosuje się często uproszczenie algorytmu polegające na: a) jednokrotnym obliczeniu macierzy J_f (*) dla x = x₍₀, i kontynuacji obliczeń według formuły

X(₀) e^R",

(3.104)

= *(*) -■*/(*(<>))• /(*(*)). ■; k = 0,1, 2,—

b) wyznaczeniu macierzy Jacobiego co pewną ilość kroków.

W podrozdziale 3.2.1 dotyczącym algorytmu iteracji prostej zwrócono uwagę na to, że równanie (3.77) można zapisać w postaci równoważnego jemu ze względu na posiadany zbiór rozwiązań równania

x = F(x),    (3.105)

definiując odwzorowanie F(-): R'^! —> R" na przykład w postaci

fQ:R” 9 x —> F(x)= x-m(x)- f{x),    (3.106)

gdzie M(-) jest n x n - wymiarową macierzą funkcyjną o elementach Mj/-) będących funkcjami z R" w R, odnośnie do której zakłada się, że jest nieosobliwa dla punktów x będących punktami stałymi odwzorowania F(-), to znaczy

detM(jc)^0 , dla x s S*_F .    (3.107)

Przedstawienie równania (3.77) w postaci równoważnej (3.105) przy założeniu zachowania równości