Kolokwium Nr 2 z Dynamiki
1. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii potencjalnej dla układu punktów materialnych.
Jeżeli założyć, że każda z sił zewnętrznych
ma potencjał
, tzn.
,
to energia potencjalną układu punktów
jest stała względem czasu.
2. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.
Odp: Tak, bo
dla
.
3. Prowadnica tworząca kąt
z poziomem obraca się wokół osi pionowej ze stałą prędkością kątową
. Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego poruszającego się bez tarcia wzdłuż tej prowadnicy. Przyjąć początkową odległość punktu od osi obrotu
i prędkość początkową punktu równą zeru.
Odp.:
, gdzie
.
Uwaga: Na rysunkach prędkość względna i przyśpieszenie względne są skierowane wzdłuż os Y czego nie bardzo widać. Obliczenia. Z praw ruchu złożonego i kinematyki bryły obliczamy:
prędkość względna:
prędkość unoszenia:
przyśpieszenie względne:
przyśpieszenie unoszenia:
przyśpieszenie Coriolisa:
Rzut przyśpieszenia bezwzględnego na Y:
Rzut II PN na Y:
Stąd wynika różniczkowe równanie ruchu:
Jego rozwiązanie ogólne Z warunków początkowych obliczamy:
|
|
4. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o kręcie bryły w ruchu kulistym.
Odp.: Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to kręt bryły względem A wynosi
gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.
5. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły w ruchu kulistym.
Odp.: Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to
gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.
6. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i rowartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć kręt stożka wzgldem jego wierzchołka oraz jego energię kinetyczną.
Odp:
;
.
Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą
Z twierdzenia o kręcie bryły (
bo
Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły ( |
|
wynika
bo
.
7. (
) Jednorodny walec kołowy o masie M i promieniu r wtacza się bez poślizgu na pochylnię. Na jaką wysokość wtoczy się walec, jeżeli prędkość początkowa środka jej masy wynosi
?
Odp.:
.
Obliczenia: Z kinematyki toczenia się bez poślizgu wynika, że prędkość kątowa walca wynosi
. Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły wynika, że
, gdzie
jest momentem bezwładności walca wzgledem osi symetrii. Zatem
. Z zasady zachowania energii
obliczamy
.
8. Obliczyć główne centralne momenty bezwładności jednorodnego ośmiościanu.
Odp.: Każdy centralny moment bezwładności wynosi
gdzie a jest krawędzią ośmiościanu a
jest jego masą.
Obliczenia: Ze względu na znaczną liczbę płaszczyzn symetrii i ich urozmaiconą orientację, każda oś centralna jest główną osią bezwładności. Wystarcza zatem obliczyć moment bezwładności względem osi z. Zauważmy, że płaszczyzna x,y dzieli ośmiościan na dwa ostrosłupy o identycznych masach i momentach bezwładności.
Wysokość ostrosłupa wynosi
|
|
Wzory: Główne centralne momenty bezwładności dla walca kołowego o promieniu |