Kolokwium Nr 2 z Dynamiki

1. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania energii potencjalnej dla układu punktów materialnych.

Jeżeli założyć, że każda z sił zewnętrznych
ma potencjał
, tzn.
,

to energia potencjalną układu punktów

jest stała względem czasu.

2. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.

Odp: Tak, bo
dla
.

3. Prowadnica tworząca kąt
z poziomem obraca się wokół osi pionowej ze stałą prędkością kątową
. Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego poruszającego się bez tarcia wzdłuż tej prowadnicy. Przyjąć początkową odległość punktu od osi obrotu
i prędkość początkową punktu równą zeru.

Odp.:
, gdzie
.

Uwaga: Na rysunkach prędkość względna i przyśpieszenie względne są skierowane wzdłuż os Y czego nie bardzo widać. Obliczenia. Z praw ruchu złożonego i kinematyki bryły obliczamy: prędkość względna: , prędkość unoszenia: , przyśpieszenie względne: , przyśpieszenie unoszenia: , przyśpieszenie Coriolisa: . Rzut przyśpieszenia bezwzględnego na Y: Rzut II PN na Y: . Stąd wynika różniczkowe równanie ruchu: . Jego rozwiązanie ogólne . Z warunków początkowych obliczamy: , oraz .

4. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o kręcie bryły w ruchu kulistym.

Odp.: Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to kręt bryły względem A wynosi

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

5. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły w ruchu kulistym.

Odp.: Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

6. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i rowartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć kręt stożka wzgldem jego wierzchołka oraz jego energię kinetyczną.

Odp:
;
.

Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą ; ; . Z twierdzenia o kręcie bryły ( ) wynika ; ; bo ; . Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły ( )

wynika
bo
.

7. (
) Jednorodny walec kołowy o masie M i promieniu r wtacza się bez poślizgu na pochylnię. Na jaką wysokość wtoczy się walec, jeżeli prędkość początkowa środka jej masy wynosi
?

Odp.:
.

Obliczenia: Z kinematyki toczenia się bez poślizgu wynika, że prędkość kątowa walca wynosi
. Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły wynika, że
, gdzie
jest momentem bezwładności walca wzgledem osi symetrii. Zatem
. Z zasady zachowania energii
obliczamy
.

8. Obliczyć główne centralne momenty bezwładności jednorodnego ośmiościanu.

Odp.: Każdy centralny moment bezwładności wynosi
gdzie a jest krawędzią ośmiościanu a 
jest jego masą.

Obliczenia: Ze względu na znaczną liczbę płaszczyzn symetrii i ich urozmaiconą orientację, każda oś centralna jest główną osią bezwładności. Wystarcza zatem obliczyć moment bezwładności względem osi z. Zauważmy, że płaszczyzna x,y dzieli ośmiościan na dwa ostrosłupy o identycznych masach i momentach bezwładności. Wysokość ostrosłupa wynosi . Przekrój ostrosłupa płaszczyzną z=const jest kwadratem o boku . Iterowanie odpowiednich całek daje: , .

Wzory: Główne centralne momenty bezwładności dla walca kołowego o promieniu i wysokości : ; ; .Główne momenty bezwładności względem wierzchołka stożka kołowego o promieniu i wysokości : ; ; .

---