114 115 (6)

114

• r.

O IV₂ = lin 1(1,2,o;, (0.0,1)} g) W_c = lin {(1,1,-I)}, W₂ = 1,„ {(-1,1,1))

^Wi ~ ^hn Ul.-l. l))i h) W_c = lir, {(1.0,0,-1), (0,1, 0,-1),(0,0,1,-1)1

Wr — lin {(2,0,3,2)} .

”;⁶    =.^cH2i,n), !*„. = lk_c{(-2,,I)}; b) W. = linc {(1,i)),

= 1«>C {(!,-«)}; <■) W, = lino {(0, 1.0)}, W, = lin_c {(3 - .,0,1)} W , = Lnc{(3 + «,0,1)}; d) H'_s, = linc {(0 0,1)}, W_a, = Un_c{(.-l,l -1)] »'_{( + J} = linc {(0,4-3.,!)};

^Bl^W° =    1.0.-1U0.1.-1)}. W_ł+. = lino {(.,1,2)}; f) W, = linc {iO, 1,0)1,

1^-31= lm_c {(l,0,i)), Wi = linc {(«,0,1)}    "

Przestrzenie euklidesowe

Dwunasty tydzień

Iloczyn skalarny (4.1). Norma wektora (4.2). Ortogonalność wektorów (4.3).

Przykłady

• Przykład 12.1

Sprawdzić, że podane funkcje (• ,*} są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych

a)    (t y) = 3riyi - 2xiyo - 2x₂yi +4*2^2 dla x = (r^ro), y = (yi.jft) € R² \

b)    (P> tf) = p(l)a(l) + 2p(2)ę(2) dla p, q 6 Jli[*]

Rozwiązanie

Funkcja (*,•): Vx V—* R jest iloczynem skalarnym w rzeczywistej przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wektorów ił. t', tń € V oraz dowolnej liczby o € R spełnione są warunki:

1-    (u, i) = [v, i),

2 (i -j- v, w) = (*, £) + (»»,

3.    (<*«,?) = <*(**)>

4.    (v, i) ^ 0.

5.    (v,v)=C<=*u= Ó.

a) Niech x = (rj.zz), 3? = (y^S/z), * =    ⁶ ora2 niech * ^€ R Wa™nki 1. 3.

definicji są spełnione, bowiem

1.    (z, y) = 3riyi — 2xiy₂ — 2z₂y: + ***$*

= 3yiXi — 2yiz₂ — 2y₂ii + i**?²

= (y, *),

2.    (i+ y,z) = 3(zj + yi)*i -2(zj + yi)** -2(x₂ + ys)*i -M(*2 + jfe)*₂

= (3xiai -2ziz₂-2x_azi+4r₂z₂) + (3yi*i - ²»i ^ - 2|&*,+4»ą)

= (*, S) + (y, z);

115