114 115 (6)

m

śSfriasi

f) W₂ = lin <(1,2,0).(0,0,1)} . g) W_c = lin {(1,1,-I)}, W₂ = lin {(-1,1,1)),

W'₄ = lin {(1, —1,1)) h) Wo = lin {(1,0,0, -1), (0,1, 0, -1), (0,0,1,-1)},

W, = lin {(2,0,3,2)).

11.6 a) W,_a. = Un_c {(2», 1)), W_:„, = linc {(-2i, 1)); h) łV„ = Unc{(l,0h = Un_c {(l,-t))l c) W, = Unc {(O, 1,0)}, W, = lin_c {(3 - t,0,1)}, W'-, = Un_c {{3 + «,0,1)}; d) W_s, = Un_c {(0,0,1)), W_e, = Un_c {(« -1,1.-1)} W,+„ = Unc {(0,4-3:,!)};

e) Wo = Unc {(1,0,-1),(0,1,-1)},    = linc {(i, 1,2)}; f) = linc {(0,1,0)},

1V_3, = Un_c {(l,0,i)}, Wi = linc {(t, 0,1}}

Przestrzenie euklidesowe

Dwunasty tydzień

Iloczyn skalarny (4.1). Norma wektora (4.2). Ortogonalność wekto-i rów (4.3).

Przykłady

• Przykład 12.1

Sprawdzić, że podane funkcje (•,*) są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych

a) (z y) = 3rjyi - 2x_Ly₂ - 2x₂t/i + 4r₂y₂ dla x = (r_:,r₂), y = (yi,y₂) € i?²; t>) (p. «) = P(l)g(l) + 2p(2)^(2) dla p,q€ #i[x]

Rozwiązanie

Funkcja (*,*): Vx V—► R jest iloczynem skalarnym w rzeczywistej przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wektorów u. 9, tb 6 V oraz dowolnej liczby o € R spełnione są warunki:

1.    (9, 9) = (9,9),

2.    (9 + 9, w) = (i, te) + (9, w),

3.    (<*9, 9) = o (9. 9),

4.    (9,9)^0,

5.    (9, 9) = 0 •<==> 9=0.

a) Niech z = (n. z₂), j = (jd,jjj,l = (z :,z₂) € I?² oraz niech a £ R. Warunki 1.-3. definicji są spełnione, bowiem

1.    (z, y) = 3rjyi - 2xi y₂ - 2z₂yi + 4x₂y₂

= 3yiT\ - 2yjx₂ - 2y₂rj + 4x₂y₂

= (y. *),

2.    (i + y, ź) = 3(zj + yi) z\ - 2(zj + yi) z₂ - 2(z₂ + y₂)x» + 4 (x₂ + V?) *2

= (3iizl - 2ziz₂ — 2x₂zi + 4x₂z₂) + (3yi*i - 2yi z₂ - 2y₂*i + 4y₂r₂)

= (*• S) + (y, z);

115