12900 str194 (3)

194 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACEA 1 JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

2.    Znaleźć rozwiązanie ogólne równania:

a)    y"'—2y" + 5y' = e'cos2/+e'sin2/,

b)    y"+y = t+2e\

c)    y" + 5y' + 6y = e~^t+e~²\

d)    y'"-2y"+y' = 2e‘,

e)    y^w-2y"+y = t²-3,

f)    y^w+5y"+4y = 3sin/.

3.    Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań:

a) 4/ + 9z’+2y+31z = e'    b) x' = -3jc+18y-8z,

3/+7z'+^+24z =3,    / = 4x-y+2z,

z' = 6x— 36y— lOz.

Odpowiedzi

1.    a) y = e^a,(A_l + A₂t+A₃t² + -gt³),

b)    y = /4₁e^-2'+(^2^s>^n/+^3^cos0^e2'>

c)    y = A₁ + A₂e² + A₃e^r+A^e' +-g-jsinf—-^f-cos/.

2.    a) y = /i₁ + i/4₂e^f(sin2/+2cos2/)+i^3E'sin2/-yo/e'(sin2/+3cos20,

b)    y = y4₁cos/+y4₂sin/+/ + e',

c)    y = A_le~^2,+A₂e~^3,+ie~^,+ te~^2,J

d)    y = A_t + (A₂ + A₃t+t²)e\

e)    y — e^,(A_l + A₂t)-t-e ^r(A₃+AĄt)-t-l+t²,

f)    y = ^₁cos/+/4₂sin/+^₃cos2/+/4₄sin2/— Ątcost.

3.    a) y = T7+Tz^e'~(C1 + C2 + \r££)^e 4*sin/+(C₁ + ¹^₂¹)e cos/,

z = -£•-^ _e'+(2C_X + C₂+ V£-⁷) e“⁴' sin/+(C₂—£r) e"⁴' cos /,

b) x = 44,4₁ + /l₂e⁵'—Aje-¹⁷', y = -26^i-4A₂e^s,-^₃e^_17‘, z = -75v4₁-10A₂e^5, + 3^₃e'^₁⁷‘.

§ 7. Równania całkowe (układy) typu splotu oraz równania różniczkowo-całkowe

Równaniem całkowym rodzaju pierwszego typu splotu nazywamy równanie postaci

(7.1)    Jk(/-T)F(T)dT = G(0,

0

gdzie F(t) oznacza funkcję niewiadomą; K{t) i G(t) oznaczają funkcje dane. Równanie (7.1) jest oczywiście szczególnym przypadkiem równania Yolterry lodzaju pierwszego.