23009 str152 (3)

152 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA i 3. PRZEKSZTAŁCENIE

Uwaga 2. Wzór (3.1) jest słuszny również w punktach nieciągłości t₀ funkcji f{t), w których dla oryginału /(/) przyjmujemy wartość

Kto-0)+/0o+0)

2

Własność 1. Przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace'a jest operacją liniową wykonywaną na funkcjach <P(s) zmiennej zespolonej s, czyli

(3.2)    ^^_1[ai^i(s)+a2^2(s)] = a_lL~^l[$_]i(s)'] + a₂L-¹ [4>₂(s)],

gdzie <7j oraz a₂ oznaczają stale dowolne.

W szczególności mamy

(3.3)    L~¹(<P_l + d>₂) = L-^)+L-^,(*₂),

(3.4)    Lr¹(<Pa) = aLT¹(<P), a — stała dowolna.

Własność 2. Jeżeli funkcja <P(s) spełnia trzy następujące warunki:

1° 4>(s) jest transformatą Laplace'a pewnej funkcji f(t), która jest oryginałem,

2° <P(s) jest holomorficzna na całej płaszczyźnie zmiennej s z wyjątkiem skończonej liczby punktów s_x, s₂, ..., s_n, w których ma bieguny,

3° |$(.ę)| dąży jednostajnie do zera, gdy |j|->oo {tzn. dla każdego e>0 istnieje taka liczba A> 0, że |4>(^)| <e dla |j|>,4),

to całka, występująca po prawej stronie wzoru (3.1), wyraża się następującym wzorem:

X + lco    n

(3.5)    ~ J d>(s)e"ds = res_Sk[<f>(s)e^sr],    f>0.

X — ico    k= 1

Z uwagi na wzór (3.1) oryginał /(/), którego transformatą jest znana funkcja zmiennej zespolonej <P(s), można wyrazić wzorem

(3.6)    Kt) m L"¹ [<*>(*)] = i res_Ik[*(s)«“]    (t>0).

*=1

Definicja. Splotem dwóch funkcji fff) i f₂(t) całkowalnych w przedziale <0, a> nazywamy funkcję zmiennej t określoną całką

\fi(t—t)f₂(f)dx

o

i oznaczamy symbolem fft) * f₂(t).

Mamy więc w myśl definicji splotu

(3.7)    m * f₂{t) = }/,(<-t) /₂(t) dr,    Ośtśa.

o

Uwaga. Splot jest operacją 1° przemienną:

/i(0*/₂(0 = /₂(0*/i(0.

2° łączną:

[/.(O*

3° rozdzielną względem d

[fi(0+f

Twierdzenie 2 (twierdzei oryginałami oraz L [/,(/)] = >

(3.8)    L\ dla Re.v = /.> z₀, gdzie l_Q jt

łów /j(0 l/2(0-

Wzór (3.8) wysławiamy przez transformatę z orygins oryginałów.

Własność 3. Jeżeli spelnu

(3.9)    L"¹ [^(s)* 4>_:

Wzór (3.9) (zwany wzorem cenie Laplace’a z iloczynu di ich oryginałów.

Własność 4. Jeżeli $(5) j pierścieniowym nieskończonoś

(3.10)

dla |r| > R, to funkcja f(t) ol

(3.11)

jest oryginałem, którego tran Funkcja f(f) jest przy tyr ności (3.10) do równości (3. nach (3.10) przekształcenie ot brać przekształcenie odwroti

§ 4. Wyznaczanie orygii (obraz)

Bardzo ważne jest zagadn (obraz). Zadanie to można 1° metoda pośrednia (ro;