26401 Rozdział II Funkcje trygonometryczne Zad � 107

7

94.    Mając dane sin a-f-cos a = — i 0° < a < 45°, oblicz tg a.

o

95.    Dane są funkcje:

a)    y — 1—sin²a + (sin²a + cos²a)²H-cos²a,

b)    y = (tga+ctga)-sinacosa—cos²a,

^c)    V — (tga + ctga)²—2.

Każdą z nich wyraź jako funkcję zmiennej u — sina.

96.    Doprowadź do prostej postaci wyrażenia:

a)    sin a—sin a • cos² a,

b)    sin² a • cos a + cos³ a,

c)    cos² a -|- cos² a • tg² a,

cl) (sin a -J- cos a )²-f(sin a—cos a )²,

e)    cosa* Vl+tg^aa_ł

f)    tg a* V^/l+ctg²a,

g)    Vsin² a (1 -f- ctg a) -j- cos² a (1 -f- tg a),

h)    sina—Vctg²a—cos²a dla 180° < a < 360°.

97.    Wykaż, że dla każdego kąta a prawdziwe są równości:

a)    sin⁴a -j-sin² a cos²a-f-cos²a — 1,

b)    sin²a+sin² a cos² a-{-cos⁴ a = 1,

c)    (asina-f&cosa)²+(&sina—acosa)² = a²-|-&², a, beR.

98.    Wykaż, że dla każdej całkowitej liczby k i każdego kąta a prawdziwe są równości:

_%    . ,    ₇    [ sina dla k = 2n

a)    sm(«+Ł-180 ) = (__{sina d},_a k = 2b+1>

b)    cos(a+M80°) = (    = f

' ^{v 1}    ' (—cosa dla h = 2^+1,

c)    sina+sin(a+lS0^o)+sin(a-l-2^> 180°)-j- ... +sin(a+/c* ISO⁰) =

sina dla k = 2m 0 dla A; = 2^+1,

d) cos a+cos (a+180°) + cos (a -f 2 • 180°) -j- ... -j^-cos (a180°) =

(cos a dla k = 2n ~~ (0 dla k — 272,-f-i.

99. Wykaż, że dla każdego kąta ostrego a prawdziwa jest nierówność

tg a > sina.

100.    Wykaż, że dla każdego kąta spełniającego warunek

a =£ h-90°(& e C) prawdziwa jest nierówność (tga)⁴-f-(etga)⁴ ^ 2.

101.    Wykaż, że dla każdej pary liczb rzeczywistych a, b takich, że a²+6² ^ 0, istnieje kąt a e < 0°, 3G0°) taki,

a    b

że sina = —-------i cosa = —====== .

vV+6²    V a²-\-b²

Wyznacz ten kąt w przypadku gdy:

a)    a = V3 i 6=1,

b) a = 1    i 6 = 1,

c) a = 1    i 6 = — 1.

102.    W której ćwiartce leży końcowe ramię kąta a, jeśli:

a) |sina| = —sina,    d) |tga| = tg a,

b) |cosa| = cosa,    e) |ctg(—a)| = —ctga.

c)    |sin(—a)| = —sina,

103.    Określ znak wyrażenia

cos (180°—a)-sin(90°-l~a)-tg(180^o+a), jeśli 90° < a < 180°.

104.    Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n = tgu°.

Wykaż, że iloczyn 89 początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równy 1.

105.    Zbadaj, dla jakich wartości a ciąg jest rosnący, gdy:

a)    a_n    =    (tga)^2w    i    0°    <    a < 180°,

b)    a_n    =    2-j-wsina    i    0°    <    a < 300°,

c)    a_n    =    (2 cos a)”    i    0°    <    a < 300°.

106.    Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt mając dany kąt 2a między ramionami trójkąta.

107.    W wycinek kola o promieniu R i kącie środkowym 2a wpisano okrąg. Wyznacz promień tego okręgu.

31