39928 przyklady

1 OKI\c*^r7\if^% /'flllri    Ji«i/>wa 7^fipy>tAW.^??p r>r>    Kilz-o/^K a Ał*jA«l'o/'»    7 no^om^woA?o

. ,    _..    —    J ■ -    • ■    —    - -    i"    ‘ ‘ ~‘ⁱ'    “"    V    ^_    'j}~    W ~~    .£    JL “'"-    ^    „,    C

^a)i^ ⁺ ^⁺^    ^8dZiCi“ '°^^c*^ne^ o początku A = (1,-1,2)    * = (0,2,3) Odp: f

J    ^ JvL>~v r    ✓v ~)^y ’    J jiAz*    2>_|_ jwot ii-i »■'V    n    iy^•*** »V m2w*£- -i, i j/ “* 2. z j-z2 ccćzzl, wz_i j zŁi.2^

L⁺

z = 1 + x zorientowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z góry Odp: 2n .

h) | xydx + ydy + x⁵dz gdzie L_4H jest łukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego y = x~i

Lab

płaszczyzny x + z = 1 o początku w punkcie A = (-1,1,0) i końcu B = (0,0,1) Odp: -1 .

ż.Korzystając ze wzoru (ireena obliczyć podane całki krzywoliniowe po brzegach dlT dodatnio zorientowanych względem wnętrza obszaru D

yj)i) | (e^x +y²)dx+(e^y +x²)dy gdzie dD⁺ jest brzegiem obszaru D o graniczonego krzywymi y = x² i y = x.

(Tp) J* X ycL

^ dD⁺

_    _ 2 1_ . -1 ■_ »    -A T>. -4- • Ą_ ł __• _    _ 1. ___ T^-    f S    N. T> 2.    -V -A    A    2.2 -i \

yux — xy Ciy guzie ou jcSi brzegiem ODszaiu u — \(X, y) s= K : X z: u a y z; u a X -t y ^ ij-

) [ p^x (1—cos y)cłx — &^x-(v—sin vVA* gdzie BD⁺ iest brzegiem obszaru D = Ux ył    • 0 < r < ja fi < v < sin rl

j '    " Z / -    W    - , ii    J    ~    ■■    ■    "    V --    - ■    -    ......

dD*

Odp: -(1-e*) a) Odp: — b) Odp: --n 5    30    8

3.Wykazać, że całka nie zależy od drogi całkowania w odpowiednio wybranym obszarze powierzchniowo jednospójnym a następnie obliczyć tę całkę:

0a) | (4xy³ - -)dx + (6x²y² + Ą)dy dla A = (0,1) i B = (3,2) .

r\ ^La* ^y - ^y

yJJb) j (2x + yz)dx + (3y^z + xz)dy + (4z^J + xy)dz dla A = (0,0,0) i B = (1,1,1)

Lab

\ f_    ,    . . * ₌.\ ..J. .    . ,₌ /Ą. =    ^    i =    ,    . . , -*> ₌\ .7₌    .11 _    j _ sr\ -t • r> _ /a a in

\/    ^ j y£\MX ~r y ~v Ai jUa- ~t Xż\ji t~ jjy -r 1^- Ay\X y ~r jci^ Cliii J± —    ) i JJ —    )

Lab

^d) J(3x² - 3yz)dx + (3y² - 3xz)dy + (3z² - 3xy)dz    dla A = (1,1,1) i B = (0,2,3).

Lab

a! f U£> ^x rJv-4-{O u — z? ^x\rhi

- j j -    i-, ■ v~ j ~    >“‘j

Lar

AU 4 = tO OM R - n

- -    \^U5^U/ * —    “/

4.Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach: @*>11 z²ds gdzie P :część stożka z = •_N/x² + y² odciętego płaszczyzną z = 2.

i_\ ff _2 j_    j_■ _ d * ____i___,2 , ..2 _ .4 _ j _• _x -__i______

U) ji z wó guzie i .WdiCd a -i-J/ — *łUUCiętcgu jJidazczy

F

c) || xyzds gdzie P:część powierzchni z = y² odciętej płaszczyznami x = 1 ix = 2 oraz z = 4

jj

p

f> ff vds gdzie P :część powierzchni z = -Jx² + v² rozpiętej nad zbiorem D : 0 < x < 1 — v²

s-r-Ś- Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane po wskazanych płatach:

( \/y || xdydz + ydzcbc + zdxdy gdzieP* :górna część paraboloidy z = 1 - x² -y²odcięta płaszczyzną z = 0.

b) || (x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy gdzie P⁺ : dolna część płaszczyzny x + y + z = 1 zawarta w

p⁺

pierwszym oktancie. Odp: -1.

\J 2 c) || ydydz + xdzdx + zckdy gdzie P⁺ : zewnętrzna strona części walca x² +>’² =1 odciętego płaszczyznami

p⁺

z = 0 i z = 1 oraz x > 0 i y >0. Odp: 1.