54399 skanuj0004

4.

2 Zif 20$§

Ćwiczenia 4 (Metoda simpleks).

1. Wyznacz pierwszą tablicę simpleksową do następującego problemu

zĄfu'^0- 2xi + x2 + 3x3 i—y max	xi — x2 + xs 1—y min
x\ + x2 + x3 ^ 30	2xi — x2 4- 3x3 ^ 3
xi + 2x2 + x3 ^ 10 <	xi + 2x2 — x3 ^ 4 *
2xi + x3 ^ 20	2xi + x3 ^ 20
Xl,X2,X3 ^ 0.	xi,x2,x3 ^ 0.

2x\ + x₂ + 3x₃ — X4 i—v max Xi +X2+ 2X3 — X4 = 30 X\ + 2X2 + X3 ^ 10 2xi + X3 + 3x4 ^ 20 Xi,X2,X3,X4 ^ 0.

2. Metodą simpleks rozwiąż zagadnienia z poprzedniego zadania.

3. Metodą simpleks rozwiąż zagadnienie

|xi + X2 i—y max xi + 3x2 ^ 60 2xi + X2 < 80

xi,x₂ ^ 0.

Określ o ile wzrośnie wartość funkcji celu, jeśli drugi wyraz wolny zwiększymy o 10. Rozwiąż graficznie program wyjściowy i w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych zaznacz punkty odpowiadające bazowym rozwiązaniom dopuszczalnym otrzymanym w kolejnych tablicach simpleksowych. (Odp. F(x) = 44).

Metodą simpleks rozwiąż zadanie minimalizacji odpadów tartaku, który ma wykonać 660 belek o długości 1.6 m. i 500 belek o długości 1.3 m. Tartak dysponuje kłodami o długości 5.2 m., natomiast lm. odpadów kosztuje 20 zł. (Odp. F(x) = 1760)

5. Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby Wi,W^WstW^. Ograniczeniem w procesie produkcji są zasoby surowców Ą,S₂. Zawartość surowca na jednostkę wyrobu, zasoby surowców oraz ceny wyrobów zawarte są w tabeli:

Surowce	Zaw. sur. W\	Zaw. stu. W2	Zaw. sur. W3	Zaw. sur. W4	Zapas surowca (w kg.)
Si	(HT	0.4	0.4	0.2	2000
S2	0.4	0.2	0	0.5	2800
Cena wyrobu	10	14	8	11

a) Metodą simplex określ wielkość produkcji maksymalizującą łączny przychód,

T5J W jakićhpanicach może się zmieniać cenawyroBu WiTa wjaJdcEf W₂,aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie?

c)    W jakich granicach może się zmieniać zasób środka Ą, aby opłacalne było zachowanie obecnej struktury produkcji?

d)    O ile wzrośnie przychód, jeśli zasób środka S2 wzrośnie o 10 kg?

(Odp. a) X2 = 2750,X4 = 4500, F(x) = 88000, b) cena Wi w przedziale (—00,19), cena W₂ w przedziale (10.8,22). c) (1120,5600), d) 100)

y[. Metodą simpleks rozwiąż zagadnienie

4xi + 2x2 + x₃ + X4 1—y max 2xi + x₂ + x₃ = 4 2xi — x₂ ^ 2

XI + 3X2 + X4 = 6 Xi,X₂,X₃,X4 ^ 0.

1x1 — X2 + 2x3 1—y max 2xi + 3x2 ^ 4 xi - x₃ ^ 2

Xj + 2X2 ^ 1

X₂,X₃ ^ 0,Xi € R.

|4x+9x₂ + 3x3 ¹—y max 3xi + 4x2 + X3 ^ 20 xi + 3x2 + 2x3 ^ 10 xi,x₂,x₃ ^ 0.

|2xi + x₂ + x₃ 1—y min xi + 2x2 + 2x3 = 4 2xi + 2x2 + 4x3 ^ 1

Xl,X2_tX3 ^ 0.

^ Spółdzielnia produkująca przybory szkolne otrzymuje z fabryki papieru bele o szerokości 2.1 m. i 4.2 m. W swojej produkcji wykorzystuje arkusze o szerokości 0.5 m. i 1.4 m. Wykonanie miesięcznego planu produkcji wymaga zużycia 12000 m. papieru o szerokości 0.5 m. oraz 18000 m. papieru o szerokości 1.4 m. Jak należy pociąć papier, aby odpad powstały przy cięciu był jak najmniejszy? Jaka będzie wielkość odpadu przy zastosowaniu optymalnego sposobu ciecia? (l^r(x) — 300)

8. Zagadnienie

1—2xi + x₂ 1—y min xi + 2x₂ ^ 4 Xi — x₂ ^ —1 x_ljx₂^0

a) przekształć do postaci kanonicznej i wykaż, że dla dowolnego rozwiązania dopuszczalnego jednego zadania istnieje rozwiązanie dopuszczalne drugiego o tej samej wartości funkcji celu. Podaj sposób uzyskania takiego rozwiązania.

b)    Wykaż, że jeśli dwa programy liniowe są równoważne w sensie punktu a) to jeśli jeden z nich ma rozwiązanie optymalne, to to drugi również i z tą sama wartością funkcji celu. Jeśli jeden z nich ma rozwiązania dopuszczalne i nie ma rozwiązania optymalnego, to drugi również. Jeśli jeden z nich jest sprzeczny (nie ma rozwiązań optymalnych) to drugi również.