59651 skrypt

i: l

1 ■ Wstęp

WSTĘP

Podstawowa właściwość cyfrowego liltru ortogonalnego stanowi zasada zachowania „energii", implikująca jego bczstralność. O ile teoretycznie stabilny (w sensie BIBO) „zwykły" filtr cyfrowy może. wskutek implementacji za pomocą arytmetyki o skończonej precyzji (prowadzącej do powstawania błędów obcięcia lubżaokrąglcnia), nie zachowywać stabilności numerycznej i gette-rować izw. cykle graniczne, o tyłe cyfrowy filtr ortogonalny charakteryzuje się samorzutną stabilnością numeryczną dzięki swojej bcz,strariTO5ćT(a więc zape w-nieiiiu kontroli nad przenoszoną w stiukturze filtru „energią^Fonadto. cyfrowe" filtry ortogonalne charakteryzują się nudą wrażliwością-na-blędy zaokrągleń oraz. możliwością przetwarzania równoległego i potokowego W konsekwencji są one bardzo atrakćyjnelmplcntćntaćyjnie.

Postęp technologiczny umożliwił w latach osiemdziesiątych hardwarc'ową re alizację algorytmów cyfrowej filtracji ortogonalnej sygnałów losowych, wykorzystującą modulamość struktur cyfrowych filtrów optymalnych (procesor CORDIC), w postaci specjalizowanych układów wieloprocesorowych, możliwych do wykonania w technologii układów VLS1. Z powyższych względów ortogonalna filtracja cyfrowa sygnałów losowych drugiego rzędu znalazła już obecnie zastosowanie w systemach użytkowych cyfrowego przetwarzania i transmisji sygnałów cyfrowych, lip. w cyfrowej syntezie mowy. parametryzacji sygnałów i ich transmisji z kompresją ilości przesyłanej informacji z wykorz.y staniem metody LPC (Linear Prcdictivc Coding), a w tym we współczesnych systemach telekomunikacji cyfrowej (np. GSM).

Dlatego też można stwierdzić z całym przekonaniem, że cyfrowa filtracja ortogonalna sygnałów losowych stanowi jeden z. głównych nurtów rozwoju współczesnej teorii i algorytmów cyfrowego przetwarzania sygnałów.

Cyfrowa filtracja ortogonalna sygnałów losowych wywodzi się z zagadnień li niowej estymacji średniokwadratowej, sięgających swymi początkami lat c/tcr dzicslych obecnego stulecia Wśród pierwszych prac dotyczących tej tematyki należy wymienić wyniki uzyskane przez. Wolda w 1938 r. |54|, wykorzystujące ideę, aby zmienne losowe traktować jako elementy przestrzeni metrycznej 122]. Zaowocowało to zaproponowaniem geometrycznego podejścia do zagadnień esty macyjnych, wykorzystującego ortogonalną projekcję na podprzestrzeń W v niki te zostały użyte przez. Kolmogornwa [31] do geometrycznego rozwiązania zagadnienia liniowej prognozy średniokwadratowej i wykazania izomorfizmu pizestizeni llilhcrtagenerowanej przez stacjonarne sygnały losowe z przestrze nią llilhcrta funkcji całkowalnych z. kwadratem względem miary spektralnej sygnału na okręgu jednostkowym płaszczyzny zmiennej zespolonej r

ncj i

Podmiotem niniejszej książki jest liniowa ortogonalni cyfrowa filtracja opry-malna sygnałów losowych i szeregów czasowych drugiego rzędu.

Cyfrowa filiracja ortogonalna stanowi nowe jakościowo podejście do zaoad-men liniowej optymalnej (śrcdniokwadralowo) estymacji sygnałów losowych, lei podstawy teoretyczne zostały opracowane w czołowych ośrodkach nkadc linckich w świecie w końcu lat siedemdziesiątych i w latach osieindziesią-tych. Wykorzystano z jednej strony rezultaty uzyskane w dziedzinie optymalne, estymacji średniokwadratowej sygnałów losowych, a z drogiej wyniki prac w dziedzinie teorii obwodów.

1 coria liniojwci^yfrowej filtracji ortogonalnej umożliwia jednolite, efektywne i atrakcyine implementacyjnie rozwiązanie istotnych - z punktu widzenia zasto-

f/l )    ?°^W\ ~,^{zagatlmcń w d7iedzi}"'^e cyfrowego przetwarzania sygnałów losowych

^takich J^ak: prognoza średniokwadratowa. filtracja odszumiajara, filir^ejo "“I"'¹' modelowanie s 1 - -. ha [•., zne eiialow , Ir:,.,paianieuyczna e^Jrt^ja^t^lysjjykJlep^iclentyfikgąiTystemów. problem gd'j?ro[fir6?z.sirar nego rozproszenia Zaowocowała ona opracowaniem ortogonalnych realizacji liniowych i nieliniowych cyfrowych filtrów optymalnych, wyznaczanych za po mocą rekurencyjnych algorytmów. Umożliwia to sukcesywna poprawę dokładności aproksymacyjnych rozwiązań zagadnień estymacji sygnałów losowych na drodze rozbudowy filtru ortogonalnego o nowe sekcje, bez zmiany Uprzednio wyznaczonej struktury filtru i jej parametrów. U podstaw teorii filtrów ortogonalnych leży więc ta sama idea. jak w przypadku rozwinięć ortogonalnych (Fouriera) w przestrzeniach Milbena rozpiętych pizez sygnały losowe, gdzie uprzednio wyznaczone współczynniki Fouriera nie ulegają zmianie przy uzupełnianiu rozwinięcia o kolejne człony

181X11111

____    ___ ____________WSTĘP

Izomorfizm ten, w literaturze zwany izomorfizmem Kolmogorowa i wykorzystywany w teorii cyfrowej filtracji ortogonalnej (8,17). umożliwia sprowadzenie minimalizacji błędu średniokwadratowego prognozy do zagadnienia minimalizacji błędu średniokwadratowego deterministycznej aproksymacji wielomianowej na okręgu jednostkowym, rozpatrywanego przez Szegó [46] i Kreina [32). który uzyskał ponadto istotne wyniki dotyczące tzw. odwrotnego problemu bezstratnego rozproszenia, będącego później przedmiotem prac Dyma i McKeana [20] oraz Dewilde'a i Dyma (17).

Niezależnie od prac Kolmogorowa i Kreina, w 1942 r Wienei zaproponował rozwiązanie zagadnienia liniowej prognozy średniokwadratowej dla sygnałów o czasie ciągłym za pomocą faktoryzacji widmowej [52J, zaś w 1947 r. Le-vinson, aby przybliżyć idee Wienera środowisku inżynierów, przedstawił reku-rcncyjną metodę rozwiązania tego problemu dla sygnałów o czasie dyskretnym [37|. znaną w literaturze porl nazwą algorytmu Levinsoiin. Algorytm ten został ponownie „odkryty" w 1960 r. przez Drobina [I9| i zastosowany do wyznacza nia modeli autoregresyjnych stacjonarnych sygnałów losowych o czasie dyskretnym. Algorytm Levinsona można interpretować jako szybką metodę odwracania i faktoryzacji Choleskiego macierzy Foeplitza [18. 2.1. 29) sygnałów sia cjonamych drugiego rzędu. Został on uogólniony na przypadek dyskretnych sygnałów niestacjonarnych drugiego rzędu o macierzy kowariancyjnej Hermite a [4], jak również na przypadek sygnałów rzędów wyższych, opisanych wielo-indeksowymi macierzami kowariancyjnymi [56] i związanych z zagadnieniem nieliniowej prognozy optymalnej.

Isiomy wpływ na rozwój teorii cyfrowej filtracji ortogonalnej sygnałów losowych miał (i ma nadal) tzw algorytm Schura, zaproponowany w 1917 r. [44] jako test analityczności szeregu potęgowego zmiennej zespolonej z t jego ograniczoności w kole jednostkowym płaszczyzny z. Po raz pierwszy związek między algorytmem Selima a zagadnieniami filtracji optymalnej sygna Iow losowych pokazano w pracy |IX|. zaś jego wpływ na rozwój omawianej dziedziny został przedstawiony w |28J. Zaproponowane w literatura uogólnienia lego algorytmu umożliwiły m in rozwiązanie takich zagadnień, jak ortogonalna paramc.iyzacja i modelowanie stochastyczne syklów stacjonarnych drugiego rzędu |8|. a-stacjonarnych |3 ] oraz ^1,1 » namycli, z użyciem modeli o niski,,, stopniu złożoność, |I4. 13. 12] Uogólnienia te znalazły zasiosowanie mm do modelowania    ^VLS<

[18 ll| Algorytm Schron został również uogólniony na przypadek stacjonarnych ^^stacjonarnych sygnałów losowych

zaowocowało rozwiązaniem problemu nieliniowej para, try J _fi( M modelowania stochastycznego tych sygnałów (62, 5 .5......

11

10