61698 img310 (5)

50. Pewien hurtownik dysponuje 400 m² powierzchni magazynowej oraz 100 000 zł miesięcznie, które może wydać na produkty A, B i C. Produkt A kosztuje 400 zł i wymaga 1 m² powierzchni, produkt B kosztuje 1000 zł i wymaga 3 m² powierzchni, a produkt C kosztuje 500 zł i wymaga 2 m² powierzchni. Wiadomo też, że hurtownik nie będzie mógł kupić więcej niż 80 szt. wyrobu C. Zakładając, że hurtownik spodziewa się osiągnąć zysk w wysokości 30 zł na każdej sztuce wyrobu A, 80 zł na 1 szt. wyrobu B i 60 zł na 1 szt. wyrobu C, określić optymalne wielkości zakupu poszczególnych produktów, zapewniające maksymalizację zysku przy istniejących ograniczeniach. Wiadomo już, że w końcowej tablicy simpleksowej wektor zmiennych bazowych ma postać:

	w		'140"
*b =	x2	=	0
	*3-		80

1.    Podać macierze B i B~¹.

2.    Hurtownik ma możliwość wynajęcia dodatkowych 100 m² powierzchni magazynowej. Czy spowoduje to zmianę rozwiązania optymalnego?

3.    Jak wpłynie na rozwiązanie optymalne uzyskanie dodatkowych 10 000 zł na zakup towarów?

4.    Czy zniesienie ograniczenia na wielkość zakupu wyrobu C spowoduje konieczność ponownego rozwiązania problemu?

5.    Omówić wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany oczekiwanych przez hurtownika zysków jednostkowych ze sprzedaży wyrobów.

51. Pewien dealer zajmuje się sprzedażą trzech produktów: A, B i C. Produkt A kosztuje 300 zł, jego sprzedaż zajmuje przeciętnie 10 min, a dostawa do klienta kosztuje 15 zł. Produkt B kosztuje 500 zł, jego sprzedaż trwa przeciętnie 15 min i w tym czasie jest odbierany przez klienta. Produkt C kosztuje 400 zł, sprzedawany jest średnio w ciągu 12 min, a koszty jego dostawy do klienta wynoszą 30 zł. W ciągu tygodnia dealer jest uprawniony do pobrania z hurtowni towarów na łączną kwotę 50 000 zł. Na wydatki związane z dostawą towaru do klientów może wydać maksymalnie 2250 zł. Biorąc ponadto pod uwagę, że czas przeznaczony na rozprowadzanie towarów w ciągu tygodnia nie powinien przekroczyć 30 godz. (1800 min) oraz oczekiwane przez dealera zyski jednostkowe (po potrąceniu kosztów) ze sprzedaży towarów A i B wynoszą 20 zł, a ze sprzedaży wyrobu C - 32 zł, należy określić optymalną partię zakupu, gwarantującą maksymalizację zysku.

1. Wiedząc, że w końcowej tablicy simpleksowej wektor zmiennych bazowych ma postać:

	V		"40"
*b =	*5	=	300
	*3-		.75.

podać wartość funkcji celu dla rozwiązania optymalnego oraz macierze Bi B ¹

2.    W jakich granicach mogił ulec zyski jednostkowe ze sprzedaży wyrobów, nie powodując zmiany rozwiązania optymalnego?

3.    Czy gdyby dealer zdecydował się pracować tygodniowo o 10 godz. dłużej, spowoduje to konieczność ponownego rozwiązania problemu? Podać rozwiązanie optymalne dla tego przypadku.

4.    Do jakiej wysokości może wzrosnąć kwota, na jaką dealer pobiera towary z magazynu, aby nie spowodowało to konieczności zmiany bazy optymalnej?

1.6. Programowanie ilorazowe

Niekiedy praktyka stawia przed podejmującym problematykę optymalizacji zadań dwa trudne do zrealizowania cele: osiągnięcie maksimum efektu przy równoczesnej minimalizacji nakładów. Trzeba jednak stwierdzić, że nie ma bezpośredniego sposobu realizacji tak postawionych celów. Toteż zaistniała pilna potrzeba szukania dróg pośrednich.

Takim pośrednim sposobem pogodzenia ze sobą dwóch rozbieżnych celów jest wykorzystanie funkcji kryterium, skonstruowanej w postaci wskaźnika o strukturze liniowo-ułamkowej. Od tak zbudowanej funkcji kryterium wywodzi się nazwa programowanie ilorazowe (w skrócie PI).

W wielu zagadnieniach gospodarczych typu: optymalizacja struktury asortymentowej produkcji bądź też mieszanek istotną rolę odgrywają wielkości stosunkowe, zwane także współczynnikami (koszt jednostkowy, wydajność pracy, rentowność itd.). Tak więc przy rozwiązywaniu problemu optymalizacji asortymentu produkcji zamiast korzystać z kryterium w postaci maksymalizacji łącznego przychodu ze sprzedaży bądź też łącznego zysku zastosujemy funkcję celu w postaci ułamkowej, np. wydajności pracy lub kosztu jednostkowego.

Pragnących pogłębić swoją wiedzę w tym obszarze informujemy, że zagadnienie to zostało opisane i bogato zilustrowane przykładami w pracy zbiorowej pod red. S. Krawczyka [61].

Reasumując, należy podkreślić, że zadanie PI składa się z warunków ograniczających o postaci liniowej, warunków brzegowych oraz funkcji celu o postaci ułamkowej. W ułamku tym zarówno licznik jak i mianownik są przedstawione w postaci liniowej. Tak skonstruowaną funkcję celu można odczytać jako jedną ze znanych w ekonomii wielkości stosunkowych.

1.6.1. Formalizacja zagadnienia wyboru asortymentu produkcji

Przedsiębiorstwo wytwarza n asortymentów, przy których zużywa się r środków produkcji. Jednostkowe nakłady środków zawarte są w macierzy:

^lln

^ail «12

A = [<Xy] =

a₂₁ <x₂₂

^K2n

(1)

■^arl ^ar2    ^arn

77