62187 PB032262

130

2°. Jeśli e ^ 2, to do otoczenia (~e; e) należą te wyrazy, dla których n spełnia wan^,

G&^niCi

tek- ii

np. dla e = 0,1 otoczeniem liczby 0 jest przedział (—0,1; 0,1).

f 2 .

n> I— i n gN. <=> («>V2Ói n gN . )=> n> 4

* 0,1 ¹

Dla n > 4 w otoczeniu (-0,1; 0,1) znajdują się wszystkie wyrazy ciągu

Tylko pierwsze cztery wyrazy nie znajdują się w otoczeniu (-0,1; 0,1).

=-j =2 0 (-0,1; 0,1)

a₂ =4=4«(-0.¹;0,l) 2² 2 2 2

36

16

* (-0,1; 0,1)

3° Dla e = 0,01 otoczeniem liczby 0 jest przedział (-0,01; 0,01).

n>\- i n eN. o (tz> V200i n eJV, )=> w >14

v 0,01    ¹    -—-

Oznacza to, że w przedziale (-0,01; 0,01) znajdują się wszystkie wyrazy ciągu U

||

o wskaźniku n > 14.

Powyższe rozważania pozwalają nam stwierdzić, że w każdym otoczeniu liczby Oznajfc

Hlsa

się prawie wszystkie wyrazy ciągu

2 V

Zgodnie z definicją 2.12, ciąg — jest zbieżny do zera, tzn. lim — = 0.

**² '    n-*co ||2

TWIERDZENIE 2.12

Jeżeli ciąg (a„) jest zbieżny do zera i k e R, to ciąg (ka_n) jest zbieżny do zera, tzn (lim= 0 i k e R) => lim(k a„)=0.

jm®    n—»oo

Przykłady:

H ■ M H są zbieżne do zera na mocy twierdzenia 2.12, bo ciąg

zbieżny do zera.

Stąd:

Jim — = limf 2    -1 = 0 ,    lim — = limf-3    —1 =    0 , lim — = limf    ^    ^ ^

n-*ao fi rt-»oo^    fi J    n-*co Yl    /j J »-**> 2n

3