81380 RozdziaÅ‚ II Funkcje trygonometryczne Zad ‡ 93

4.    Miara Å‚ukowa kÄ…ta nieskierowanego

MiarÄ… Å‚ukowÄ… kÄ…ta nieskierowanego nazywamy stosunek dÅ‚ugoÅ›ci Å‚uku, który jest częściÄ… wspólnÄ… obszaru kÄ…ta i dowolnego okrÄ™gu zakreÅ›lonego z wierzchoÅ‚ka kÄ…ta, do promienia tego okrÄ™gu. JednostkÄ™ miary Å‚ukowej nazywamy radianem.

5.    Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

sinusem zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcjÄ™

180a; \°

-1 , x eR;

x

snu = sra

71

cosinusem zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję / 180x\°

x —> cos x — cos I-I , x e R;

tangensem zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcjÄ™

fl80x\°

x —> tg a; = tg ( --j , x e R—A, gdzie A jest zbiorem wszyst-

71

71

kich liczb rzeczywistych mających postać x — — (2&-j-l), k eC;

2

cotangensem zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcjÄ™ / 180 xV

x ctg x = ctg I—-—1, xeR—B, gdzie B jest zbiorem

wszystkich liczb rzeczywistych mających postać x — kn i k e C. 6. Pochodne funkcji trygonometrycznych

Każda z funkcji trygonometrycznych jest różniczkowalna w zbiorze, w którym jest określona i prawdziwe są wzory:

(sina;)' = cos a;, x eR;

(cosa;)' = —sina;, x eR;

(tg a;)' = (ctg a;)' =

1

71

COS² X

1

sin² x

l+tg²a, x^~(2k+l); = — (1 + ctg² a;), x â– =/- k7t.

§ 4. Powtórzenie wiadomości o f unkcjach trygonometrycznych — zadania

87. Niech a, fi, y oznaczają kąty trójkąta. Jaką liczbą (dodatnią czy ujemną) jest suma:

a)    sina-f sin/3+siny, . . a fi y b)    cos—[-cos—[-cos — , 2 2 2

a 6 y n c) tg-+tg~-+tg-?

88.    Niech a, fi, y oznaczajÄ… kÄ…ty trójkÄ…ta. Jaki to trójkÄ…t (ostro-kÄ…tny, prostokÄ…tny czy rozwartokÄ…tny), jeÅ›li:

a) cosa < cos(/?-f-y),    c) cosa-cos/?-cos y > 0,

b) cos(a+/?) = cosy,    d) (sina+sin/3) • cosy < 0.

89.    Zbadaj, czy istnieje trójkÄ…t o kÄ…tach a, /?, y takich, że sin² a+sin²/?—cos² y = 2.

90.    OkreÅ›l zbiór wartoÅ›ci funkcji:

a)    y = 1—sin^2 a, b)    y — 2—cos^2 a, e) y = tg a-ctg a,

d)    y = l.+tg^2a, e)    y = ctg^2a—1, f)    y — |3—cosa|.

91. W yznacz największą i najmniejszą wartość funkcji

a)    y — 4—3 cos a, b)    y — 2 — 4 sin a, c)    y — 3—2cosa,

d)    y — sin^2 a+2, e)    y = 1 + ctg^2a.

92. Zbadaj, czy istnieje kąt a, spełniający równanie

a)    2sin^2a— 1 = 1, b)    3sina—2 = — 6, c)    sin a+3 cos a = o, d)    sin^4 a+cos^4 a -j- 2 sin^2 a cos^2 a =

e)    tg a+ctg a = 0, f)    tga + 1 = 10^5, g)    3 cos^2 a—sin^2 a = 0. 1 " Y^5

93. Zbadaj, czy istnieje kąt a taki, że

3    1 . a) sina = — i cosa = —, 4    5 ., . i . a/5 ' 2 2 3 1 c) tga = — i ctga = — . ’ 4 ° 3

3    3 d)    tga = — i sina = —, 4    o 7 7 e)    cosa =— i ctga =——. 2o

29