21 (929)

48

gdzie C jest kwadratem o wierzchołkach 1, i, —1, —i.

48	r-J .‘I,;/ : !'^1$.
^C)J	' dz
	cos z

Całki funkcji zespolonych

• Wniosek 3.5.3 (o równości calck krzywoliniowych)

Niech D oraz Di będą obszarami jednospójnymi takimi, że D\ C D, gdzie Di oznacza obszar D\ wraz z jego brzegiem. Ponadto niech C oraz C\ będą kawałkami gładkimi, dodatnio zorientowanymi krzywymi Jordana w obszarze D, przy czym krzywa C\ leży wewnątrz C, a zbiór Dj leży wewnątrz krzywej Ci (rys. 3.5.2). Wtedy jeśli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze D \ Di, to

J f(¹)dz = J f{z)dz.

c    c,

O Ćwiczenie 3.5.4

Udowodnić powyższy wniosek korzystając z podanego rysunku:

O Ćwiczenie 3.5.5

Uzasadnić, że w powyższym wniosku założenie, iż jedna krzywa leży wewnątrz drugiej, można opuścić.

gdzie Ct dla k = 1,2,.... n są dodatnio zorientowanymi okręgami o środkach z* i promieniach tak małych, że okręgi te mają rozłączne wnętrza i wszystkie leżą wewnątrz krzywej C.

O Ćwiczenie 3.5.7

Udowodnić powyższy wniosek.

0 Ćwiczenie 3.5.8

c

Korzystając z powyższego wniosku oraz faktu, że dla dowolnego okręgu C o środku »n mamy

—*r-—, C - dowolna kawałkami gładka, dodatnio zorientowana krzywa Jor

z(z — 3)

c

dana zawierająca punkty 0 oraz 3 w swoim wnętrzu.

3.6 Wzór całkowy Cauchy’ego

• Twierdzenie 3.6.1 (wzór całkowy Cauchy’ego)

Jeśli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, a C C D jest kawałkami gładką, dodatnio zorientowaną krzywą Jordana zawierającą punkt zo w swym wnętrzu, to    v

C

Uwaga*. Dla funkcji holomorficznej jej wartość w dowolnym punkcie obszaru (o kawałkami gładkim brzegu będącym krzywą Jordana) jest jednoznacznie wyzna-

czona przez wartości tej funkcji na brzegu tego obszaru.

Jeżeli punkt zq leży na zewnątrz krzywej C, to z twierdzeniea całkowego Cau-chy’ego wynika, że

c

z — Zfl

1

Wniosek 3.5.6 (całka po krzywej obejmującej inne krzywe)

Jeśli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów ¹i, z₂, ..., z„, a C jest kawałkami gładką, dodatnio zorientowaną krzywą Jordana zawartą w tym obszarze i zawierającą w swym wnętrzu punkty zi, Z2, ...,