225 (44)

r/fc-TODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO

IO.t/225

©wymiarowy) zaś ciągłość z następującej nierówności:

( ) (aDu Dv+cuv) dx) | (u (Da)² —cu²) d.\- j (u (Dvy +cv²) d.v

<(max {a,c})² |u |? IW? Skorzystaliśmy tutaj z nierówności Cauchy'ego

( £ °i ^hif ^ A ^a‘ ^h*

i-1    i-i I-I

Ograniczoność l (v) ustalamy na podstawie nierówności Schwarza

1    i    i

|/ (»; = J fvdx < ( I f²óx) ² | i' i'²dx) ² < M |o||_t o    o    "o

gdzie M = ll/Ho-

Rozwiązania przybliżonego u_b 6 V_k poszukujemy w postaci

-2>-

<Pi

1-1

Wielkości u_mie R wyznaczamy z następującego układu (zob. układ 10.87):

A_h*_h */_A    (10.97)

gdzie i/* = {u_mi}r-i,    4 = {j* hi dxj" 1 .

o

1

^Ak = {J (a (x) Z)ę>< Ztyy-f c (a) y,. ?)_y) d*}^, o

Ustalmy strukturę macierzy A_h. Zauważmy, że funkcje Dip_tD(pj i tp_ttpj przy ustalonym i są różne od zera tylko dla j = /— I, /, 1+ 1. Stad wynika, że macierz A_H jest trójdiagonalna. Przy c (a) — 0 i a (a) = I ma ona postać

*2-1 0 ... •

-1    2 -I ...

A_u =

-1

2    -1

-1 2

¹ układ (10.97) daje się zapisać jako zadanie różnicowe

-ddu„, = /*, i = 1,.... m

^M«o = _Umm+l = 0 1

stoie /, = -Ł_f/9>,dx . Ku, = <p_l_₁-2»,+ e_ltlyfc» .

O