229 2

229

6.5. Ogólna teoria raetod itcracyjaych

6.5.1. Przypuśćmy* ^ie równanie x=(p(x) ma pierwiastek a i że w prze-

^izide    j~W- |*-«M

istnieje pochodna <?'(*) i

\9(x)\ś.m<l.

Wtedy dla każdego x₀ e J (ó)x_nsJ (*1=0,1,...),

(b)    lim x„=ot,

(c)    a jest jedynym pierwiastkiem równania x = <p(x) leżącym w J.

Dowód. Sprawdzimy najpierw indukcyjnie zdanie (a). Przypuśćmy, że x_n„_leJ. Z twierdzenia o wartości średniej wynika, źc

x_m-a= ?(*.-,)- p(a)= p'(&)(*»-i -«) (£. e J) •

skąd

Wobec tego x„eJ i (a) jest prawdziwe.

Stosując wielokrotnie powyższą nierówność, otrzymujemy |x„—a|</»|x_-__ł“«|^...<m"|x₀-a|.

Ponieważ m<\, więc wynika stąd (b). Przypuśćmy wreszcie, że równanie x = p(x) ma w przedziale J pierwiastek fi różny od a. Wtedy

a-fi=<?(*)-9(fi) = 9XZHa-P) tfeJ),

skąd

|a-0|<m|x-0|<|a-£|, co nie jest możliwe; (c) jest więc prawdziwe.

Ćwiczenie. Równanie z przykładu 6.5.2 ma pierwiastek bliski punktu x₀=.1.9. Po-kazać. źe z trzech zaproponowanych metod ileracyjnych x„_{+ t} = <p;(x_a) (i=l, 2, 3) tylko druga jest zbieżna do tego pierwiastka.

W twierdzeniu 6.5.1 założyliśmy istnienie pierwiastka a. Można jednak tak je zmodyfikować, aby służyło do sprawdzenia, czy równanie x=ę>(x) ma pierwiastek. Dowód ^je Ostrowski [83], str. 46.

Twierdzenie 6.5.2. Niech J będzie przedziałem domkniętym, w którym pochodna * (*) istnieje i spełnia nierówność

Wiech

|ę>'(x)|s£m< 1 .

*i±\-|x,-x₀|e J,

^CUW x_lt x_2>... będzie określony wzorem x„₊₃ = ®(x„) dla x_D e J. Jeśli m

Prawdziwe części (a), (b), (c) twierdzenia 6.5.1.