23,24

Wykorzystany w przykładzie rozkład nosi nazwę rozkładu wykładniczego.

Przykład 6. Dobrać tak stałe A i B aby funkcja

0

A + B arcsin x

dla

dla

dla

x <-l -1 < x < 1

x >1

była dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej X. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X i obliczyć prawdopodobieństwo P(IXI>1/2).

Rozwiązanie. Dystrybuanta w tym przypadku musi być funkcją ciągłą, zatem muszą zachodzić

lim F(x) = 0 i lim F(x) = 1. Tak więc możemy napisać

x->-r    x—

lim (A + B arcsin x) = 0 i lim (A + B arcsin x) = 1

x—>~r    x~>—r

Ostatecznie wyniki dają układ równań:

A-B — = 0 2

A+B-=l

2

którego rozwiązaniem jest A =

B = —. Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma

2    71

0

postać:

s

1

—arcsmx

71

dla    x<l

dla — 1 < x <1

dla    x > 1

a gęstość odpowiednio

1

/(*) =

dla x < 1

Wl-A'²

0    dla pozost. x

Funkcja gęstości otrzymana wyżej opisuje tzw. prawo arcusa sinusa i wykorzystywane jest w zagadnieniach dotyczących np. błądzenia przypadkowego.

Dla obliczenia prawdopodobieństwa

P

\

X

>1

2

\

7

zauważmy, że

\

\

x<-I 2

7

/

+ P

V

X>i 2

A

y

/

V

= P

v2y

11 .111 .1 ---arcsin— +1----arcsin — =

2 Ti    2    2 je    2

, 2    . 1 , 2 te 2

= 1 — arcsin—= 1----= —

7i 2 Ti 6 3

Odnotujemy, że ten sam wynik otrzymamy wykorzystując wzór (13).

24