23 (160)

hW4 Elementy teorii pola

Łg Podstawowe pojęcia teorii pola

Oznaczenia:

: $R³    - pole skalarne; (

F: 9J³-^ 9r - pole wektorowe, gdzie F=[p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)].

gg^

Operatory różniczkowe pierwszego rzędu określamy w układzie ortokartezjańskim następująco:

dtp dtp 5cp

l)x’~dy'~dż

<,k*i O** '<■ ^A

grad: 9t-*9ł³, q> -> gradtp =

₀ Al ^ cL ■, c —v>    <* ć * ^vlt^

div: SR³—>-5R, F-» divF =-^ + ^ + —;

Te trzy operatory można krócej zapisać przy pomocy operatora Hamiltona (operatora nabla):

"a a a

<3x ’ dy ’ dz

V :=

'H a

ć( cp

■i

r a -t a _r a

= i —+ i — + k—

dx dy dz

gradcp =

divF = V F,

rotF = VxF.

6 Lts-l Y(j ii/t (. 10{_

dx dy dz

^, e i uł Lćto~fO<~i £			T ] k
rot: 9J^3-^9ł^3, F —» rotF =	ar aq ap ar aq ap		d d d
<r<D^_e {CL	dy dz' dz dx dx dy j		dx dy dz p q r

(<- zapis symboliczny).

H^agrTT\

<f- Cl<?^Cc t-Oł

d²ę d²(p ₊ d²(p dx² dy² dz²

Jeżeli pole skalarne (peC²(V), Vcz^sA, to określone jest wyrażenie: div(grad(p)= —y +    +

₂ d² d² d²

Operator różniczkowy, który określamy symbolem V = A = —j J--y + —y i nazywamy operatorem

dx dy dz

Laplace’a (laplasjanem) jest przykładem operatora różniczkowego rzędu drugiego.

2 2 2

V² (p= A <p= ^-A + -5-A + AA = 0 - równanie Laplace’a. dx² dy²    dz²

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki 23