250 (49)

.o/25Ó

MITTODY NUMERYCZNE...

Dla ustalonego układu możemy na ogół podać kilka metod jego rozwiązywania. Należy więc wybrać metodę, która zc względu na przyjęte kryteria jest najlepsza, Najczęściej metody ocenia się na podstawie

(1)    kosztu mierzonego liczbą działań arytmetycznych,

(2)    wykorzystania pamięci maszyny,

(3)    własności numerycznych, stabilności, poprawności algorytmu*.

Własności rozpatrywanych w tym punkcie metod rozwiązywania układów

otrzymywanych w metodach siatek i elementu skończonego będą zależały od:

(1)    postaci równań i warunków brzegowych (rzędu równania, mieszanych pochodnych, zmiennych współczynników, rodzaju warunków brzegowych itd.),

(2)    kształtu obszaru (prostokąt, wielokąt, dowolny obszar itd.),

(3)    wybranego wariantu metody różnicowej lub elementu skończonego.

Algorytm dla macierzy irójdiagonalnej    10.4.2

Niektóre aproksymacje zagadnień brzegowych dla równań zwyczajnych drugiego rzędu prowadzą (przy naturalnym uporządkowaniu niewiadomych) do układów równań z macierzą trójdiagonalną. Takie układy otrzymujemy również dla zadań parabolicznych i hipcrbolicznych z jedną zmienną przestrzenną. Niektóre algorytmy rozwiązywania układów' równań algebraicznych dla zagadnień różniczkowych cząstkowych wielu zmiennych też bazują na rozwiązywaniu układów z macierzą trójdi agonalną.

Przedstawimy teraz algorytm rozwiązywania takich układów. Będzie to specjalny wnriant algorytmu eliminacji Gaussa (por. p. 6.6.2). Ma on szereg bardzo dobrych własności, o których będziemy mówić dalej.

Rozpatrujemy układ o współczynnikach rzeczywistych

Ay =/

gdzie

/=	2t • Cl	•M^T -bi	0	... 0 ~
	“"2	Ci	-**	... 0
A =	0		•	... 0
	•	•	-	... V-1
	0	0	0	... CN _

Postać skalarna tego układu jest następująca:

ci y_i-b_l y₂ =/i

-a_fy_l^₁+c_ty_l-‘b_iy_i+l^fi, i => 2, ..., JV-1    (10.115)

^—un y.s -i +cn y.s — In

* Por. z rozdz. 1 i p. 6.4.