309 2

309

7.6 Rachunek operatorów

■ (») Uzasadnić formalnie, za pomocą operatorów, przekształcenie Eulera kusia zbieżności nie jest konieczna; z może być zespolone.

(b) Jeśli    <P e [0, u], to dla jakich wartości rzeczywistych a e [0, I] szereg

po prawej stronie jest szybciej zbieżny niż szereg po lewej stronie? fc) Oznaczmy

.-t    ₂- i-\/ _z

I t-tW

j-0    I—Z_a = o\«—

_K=0 jub fc = 0, odpowiednie sumy w A/** mają wartość zero. Pokazać, że

....    M_lt+_ti_i--zAf_nk    M_n+i jk~M_mk    ⁿ~^l -

+«--7-:-=    +-—-.    M_-0 = £ u_y z'.

1—Z    I—Z    /-O

(d)    Czy algorytm wynikający z (c) w przypadku szczególnym z— - 1 jest skądinąd znany?

(e)    Pokazać, że jeśli ^ 1, szereg Vu;r' jest zbieżny, a A^k~^xu₄ dąży monotonicznie do zera dla /-*x. to

ż-0

Wskazówka. Wykazać najpierw przez indukcję względem p, źe

4. W całkowaniu numerycznym równań różniczkowych zwyczajnych stosuje się poniższe związki. Wyprowadzić funkcje tworzące i obliczyć po trzy początkowe współczynniki każdego rozwinięcia.

(a)    Wzór Adamsa-Bashforiha:

y*+1 - y* * A ia₀ + a _v Vy’_n + a₂ V*y‘_m +...).

(b)    Wzór Adarnsti-Moultomr.

Vm 4»-y,=fc(b/>y«₊, + ó, rvi+ ,+6₂P₅y'₊, - ...i.

⁵- (a) Dany jest ciąg x₀, y,.....a>. Wykazać, że jeśli

>o**o.    >•««(—A)*Xq    («*l,2.....W).

to

*o =*>»o.    JC„=(-4)"v₀    («= I, 2.N).

(b) Dana jest macierz A—(a_{j)    (O^f, /<- -V), gdzie

.) dla    0*j<.i*N,

^atj— j \jj

lo    dla    / <j

^pr7>j»nuje się. ż_e ^|=| (łi_a 0). Sprawdzić, źe =