271 2

271

7.3. Interpolacja

Ilorazy różnicowe oblicza się najprościej z wzoru rekurencyjnego

1 /[*!♦!.....*fc-l.    J

x_k-x_t

(73.9)

4bv go udowodnić zastosujmy wzór (7.3.7), ale dla układu punktów zaczynającego się od.Xi*i■ a nie od x₀:

1 > • ••» x*-i, *]-/[x₁₊ .....x*__Ł, xj

X-**

/[.V, +.J , • • • *_Xjfc- m ^xk»    --

Wystarczy^- teraz przyjąć x=x_t i skorzystać z symetrii ilorazu (twierdzenie 7.3.4).

Ilorazy obliczane zgodnie z (7.3.9) można ustawić np. w następujący sposób.

^x;^f; /[*».*.] „_x _

*'7    /■[*!.**] „*°’*”*1    /[»«. *!.•*».*»]

^J7 /[x₂,Xj]

*3 Ja

Przykj^sjo 73.1. Znaleźć wielomian interpolacyjny dla poniższych danych. W obliczeniach zastosować wzór (7.3.9).

-T| /j Ilorazy różnicowe

¹ ° 2 2 2^1^

4    12    1    °

5    20    ⁸

Stad

G(x)«2(x-1)+(*-I)(*-2)«(x-i)x.

Istnieją również inne rekurencyjne algorytmy interpolacyjne, np. Aitkena (zob. za-óanie 8 w § 7.3) i Nevillc*a. Oba opisali Jsaacson i Keller [12]. Zob. też wzór (4.3.5).

7.3.4. Wzory dla interpolacji z węzłami równoległymi

^Twiesu>ze>W5 7.3.5. Związek różnic z ilorazami różnicowymi. Jeśli x_v=x₀-f vh, to

fe^Tóćnjy

fL^x(»^xi+1 y.. •» x_t+j] ■■ uwagę na silnię w mianowniku!).

Vjł

?5^wód Ondukcyjny, z użyciem wzoru (7.3.9)). Należy przyjąć k=i~j+ L. Szczegóły ^WJamy czytelnikowi.

89®ÓStąw

Uw

<>>Ai_r, Meząc ten wynik z twierdzeniem 7.3.2 (dla «»/—!, x—xX otrzymujemy dowód wzoru    (twierdzenie 7.1.4).