30 (697)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

F(x,y) dxdy

W punktach ciągłości (x,y) funkcji/zachodzi:

Dla obszaru regularnego K c R²:

/>[(*,r)e K]= JJf(x,y)dxdy

K

Inne informacje oraz wzory dotyczące zmiennych losowych i rozkładów dwuwymiarowych będą zamieszczane bezpośrednio w przykładach.

	Xi	Xi	x2	Xj
Yi		1	4	5
Yi	1	0,1	0,1	0,1
Yi	3	0.3	0,5	0,1

81/ Dwuwymiarowa zmienna losowa Z = (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa określony tak ja to widać w tabeli 45. Znaleźć rozkłady brzegowe dla zmiennych X i Y. Znaleźć rozkład warunkowy Y wzglądem X Tabela 45.

Rozwiązanie:

Rozkład brzegowy dla zmiennej X obliczamy ze wzoru (1.32):

(02) pęr _{= x})₌£p(_x = _{x;Y = y/})

M

2

P(X = 1) = £ p{x = 1J =>-,)= 0,1 + 0,3 = 0,4

I-1

P(X = 4)=f_ip(x = 4j = y₎)= 0,1 + 0,3 = 0,4

-M

P(X = 5) = £ P{X = 5, Y = y,) = 0,1 + 0,1 = 0,2

Rozkład Brzegowy dla zmiennej Y obliczamy ze wzoru (1.33):

⁽¹*³³⁾^ = >'_y)=t^Y = x,₍y = y_;)

1=1

P(Y = 1) = X P(X = x,, Y = 1) = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3

/-I

p(Y = 3) = £ p(x = X,, Y = 3) = 0,3 + 0,3 + 0,1 = 0,7

Rozkład warunkowy Y względem X wyznaczymy ze wzoru (1.34):

<°⁴>

^v '    ’    P(X=x,)

P{)

• ₌ ,/^ ₌ ,)₌ŁŁ^l)₌Ozl ₌ l

P(X = l) 0,4    4

_{3/Y n} P(Y = 3,X = \) 0,3    3

P( = 4)    0,4 4

_P(Y,vx=A)=^M^lJA ₌ ł

P(X = 4)    0,4 4

Pb

P(X = 1)    0,1    4

/*(/ = 11X -5)=    =^S) ₌ M ₌ 1

’    P(x = 5)    0,2 2

„y₌3,.V,₅),*±M^),4i,l

'    />(* = 5)    0,2 2

82/ Dwuwymiarowa zmienna losowa Z = (X, Y) ma rozkład podany w tabeli 46. Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y, a także rozkład warunkowy zmiennej X wzglądem zmiennej Y.

	Xi	Xi	Xi	x3	X4	x*
Yi		3	3,5	4	4,5	5
Yi	3	0,16	0	0	0	0
Yj	3,5	0,12	0,04	0	0	0
y3	4	0,08	0,08	0,08	0	0
y4	4,5	0	0,12	0,06	0.05	0,04
YS	5	0	0	0,01	0,08	0,08

Rozkład brzegowy zmiennej X obliczamy ze wzoru (1.32): P{X = 3)= £ Ąx = 3, Y = y, )= 0,16 + 0,12 + 0,08 = 0,36

Tabela 46.

7=1

P{X = 3,5) = £ p{x = 3,5; K = _y_y)=0 + 0,04 + 0,08 + 0,12 = 0,24

7=1

P(x = 4) = £ p(x = 4, Y = y,) = 0,08 + 0,06 + 0,01 = 0,15

7=1

P(X = 4.5) = £ P(x = 4,5; Y = y)= 0,05 + 0,08 = 0,13 P(x = 5) = £ p{x = 5, Y = _yj )= 0,04 + 0,08 = 0,12

7=1

-59-