322 (9)

Wówczas

C- s=PC_AP^r =:crgp- ^|B^r(BP-¹B^rr¹BP~ⁱB^?’(BT^>~¹B'^/')"^lBP-¹ =

V

= cr2p-^|B^r{BP“^lB^r)-^JBP-^l

Macierz kowariancji wyrównanych obserwacji x

Wyrównane obserwacje są wyznaczane na podstawie zależności

x = x"^/; - V

którą po podstawieniu

V =-P"^,B^,'(BP“¹I5⁷’)“ⁱA można także zapisać w postaci

x = x^ob + V = x^w* - P^B⁷'(BP”'B⁷ Y'^] A    (5.2.19)

Mogłoby się wydawać, że na podstawie powyższej zależności, znając macierze kowariancji wektorów \^ot>, A, można łatwo wyznaczyć macierz kowariancji wyrównanych obserwacji C$. Przy takim podejściu uzyskuje się

C* =C_<ł(/( +DC_aD = <t£p“ⁱ +P"¹B^r(BP"^lB‘^;’)'^la5BP“¹B’^/’(BP~^,B^r)'^lBP"‘ =

tt— -r~

= al f P~¹¹ -i- P“¹B^r (BP“¹B^r)"¹ BP"¹ ]

co, niestety, jest wynikiem błędnym. W rzeczywistości użyte powyżej zmienne losowe x"¹’, A są ściśle ze sobą związane relacją A = 'P(x^rt/;). Oznacza to, że przed zastosowaniem zasady propagacji macierzy kowariancji należy wy-z-ażenie (5.2.19) doprowadzić do takiej postaci, aby występowała w nim tylko jedna zmienna losowa o znanej macierzy kowariancji. Postać taką można uzyskać, biorąc pod uwagę, że

x = x"^h + V    skąd    x'^lh = x - V

BV + A = 0    skąd    A = -BV

Wówczas

x = x‘^,h + V ~ x"^h - P■¹B⁷’(BP“^,B^r)”'A --= x - V + P'¹ B⁷' (BP^B⁷ )BV =

'TT    -A

— x — {I_fj - P“¹B⁷ (BP"¹B⁷ )^_i B}V =

= x — M /j V

lub

\ = x - M _BV = x + M _Be    (5.2.20)

gdzie e = —V jest wektorem błędów pomiaru o macierzy kowariancji C_c = C_v — C_xoi>.

Przypomnijmy: w i-ozdz. 5.1 wykazano, że

■*

V = MV = -Mc

gdzie M = l_n - A (A ⁷ PA)~¹ A⁷' P.

Macierz

M_fl -1„ -P'^,B^r(BP"^lB^r)"^lB

wykazuje podobne własności jak związana z metodą parametryczną macierz M, w tym m.in.:

1)

2) m_bp~^,m5 = p^,’^,m5

Na podstawie zależności (5.2.20), stosując zasadę propagacji macierzy kowariancji, można już w prosty sposób ustalić macierz kowariancji wyrównanych wyników pomiaru. Zatem podstawiając D = M_/? oraz przyjmując model C_c=C_x(łfc — c7f)P"¹, uzyskujemy

C* = DC_cD^r = M^ (j₍yM_BP^M'j sagP‘^5 =

= ctq P“'[l_n -B^r(BP"^lB^rr^lBP"^l]=    (5.2.21)

= <7o (P~⁵ -P”‘b⁷ (BP^-,B^r )“^IBP^_I ]

Ponadto, zastępując współczynnik wariancji o\ jego estymatorem

„■» V^rPV

ery - —-----niQ

otrzymujemy następujący estymator macierzy kowariancji wyrównanych obserwacji:

C_k sr/njlP"' -P^_lB⁷'(BP~¹B⁷'r^!BP'¹}    (5.2.22)

323