35 (264)

68

prostą prostopadłą zarówno do prostej p Jak i do prostej c - leżących na płaszczyźnie «. . Rzuty krawędzi k płaszczyzny V poziomo rzutującej z płaszczyzną ^ pionowo rzutują pokrywają się z jedno imiennymi śladami płaszczyzn f i f , tj. k« h» i k =    . Z powyższego wyni

ka, że krawędź k» YW jest prostą prostopadłą do płaszczyzny o< = pc» Ponieważ prosta k = h(p jest prostopadła do prostej p¹ , a prosta p¹ II - prosta k¹ jest prostopadła do śladu poziomego ri^ płaszczyz-nye(J podobnie, gonieważ prosta k » jest prostopadła do prostej c , a prosta c // V,* - prosta k jest prostopadła do śladu pionowego V« płaszczyzny e>c - c.b.d.d.

W praktyce, gdy mamy wykreślić np. przez punkt P prostą l prostopadłą do.płaszczyzny ot - rys.135, nie będzie konieczne kreślenie na płaszczyźnie cc pomocniczych prostych p i c, jak to zrobiono dla przeprowadzenia dowodu, lecz wystarczy -rzez rzuty punktu P poprowadzić rzuty prostej 1 prostopadłe do jecc. imiennych śladów płaszczyzny «j tj. przez P' rzut l' prostopadły do h_a, a przez p" - rzut l" prostopadły do śladu pionowego V.^,

Jeżeli many prze* punkt N poprowadzić prostą p prostopadłą do płaszczyzny «.równoległej do osi x /lub zawierającej oś xj,zagadnienie rozwiążemy najlepiej wykonujące rzut na trzecią rzutnię, lub wykonując kład na rzutnię I₁ /lub na I .J płaszczyzny podwójnie rzutującej przechodzącej przez punkt N - jak to wykonano w przykładzie omówionym na rysunkach 136 i 137. Przez punkt N prowadzimy płaszczyznę Ji podwójnie rzutującą, kreśląc jej ślady    prostopadłe do osi x.Wyz

naczamy kr swędź k płaszczyzn << i p .której rzuty k¹ i k pokrywają się ze śladami h^t, » ^płaszczyzny ^ , Następnie wykonujemy kład na rzutnię S ₁ płaszczyzny {h wraz z punktem N 1 krawędzią k = cc (!> płaszczyzn ac 1 p> . W wyniku wymienionego kładu otrzymujemy na osi x punkt V* - tj. kład śladu pionowego krawędzi k, kład 1? H* kra^dzi k oraz kład N* punktu 8 na prostej równoległej do osi x przechodzącej przez punkt N¹ . Przez punkt N* prowadzimy prostą p* prostopadłą do kładu K* krawędzi k i wyznaczamy punkt p* k*- przecięcia się prostych p* i k*. Prosta p* jest kładem ną %, prostej p prostopadłej do płaszczyzny «< przechodzącej przez punkt N, ą odcinek /N * K * / jest rzeczywistą odległością punktu N od płaszczyzny . Powracając z kładu do rzutów z punktem M* , otrzymujemy jego rzut poziomy M¹ na prostej k¹ »    1 pionowy H na prostej k" * Vyj ,a

łącząc punkt ^łN^l z punktem M¹ otrzymujemy poziomy rzut p¹, oraz łą-« ■ » cząc punkt N i H - otrzymujemy pionowy rzut p-prostej    p prosto

padłej do ct. , przechodzącej przez punkt N. \

W oparciu o omówione wyżej rzuty prostej prostopadłej do płaszczyzny, jest możliwe również wyznaczanie płaszczyzny prostopadłej do danej prostej. Niech dla przykładu zadaniem naszym będzie wyznaczenie prze-

chodzącej przez punk*. P płaszczyzny    pro sto pac iej do danej prostej

X, - rys.138. Prowadzimy najpierw przez punkt P prostą c czołową /lub p poziomą/ prostopadłą do prostej X, kreśląc jej rzut pionowy c przez

n    ■    ,

punkt P prostopadły do prostej 1 , a rzut poziomy c - przez punkt P¹ rćwnołegły do osi x. Po wyznaczeniu śladów i vt* prostej c.kre-

’ ■    ®    •    C    j

ślimy przez ślad H_c ślad płaszczyzny « prostopadły do 1 ,a przez węzeł X_a i ślad pionowy    - ślad prostopadły do i .

,    21. PŁASZCZYZNY PHDSTOPA1ŁE

Omówienie odwzorowania płaszczyzn prostopadłych, mus i być poprzedzone przypomnieniem sobie defiriicji 1 twierdzeń dotyczących prostopadłości dwóch płaszczyzn omówionych w paragrafie 9.3, Sposoby odwzo-: rowywania w rzutach Monge'a płaszczyzn wzajemnie prostopadłyeh, opieramy na wykorzystaniu dwóch pierwszych definicji odnoszących się do płaszczyzn prostopadłych - patrz paragraf 9.3- Według pierwszej definicji - płaszczyzna <x przechodząca przez prostą 1 prostopadłą do płaszczyzny fi , jest prostopadła do płaszczyzny fi ,

Obierzmy dowolną płaszczyznę /b i poprowadźmy dowolną płaszczyznę oc prostopadłą do fi, - rys.i39. Ponieważ zadanie raa nieskończenie wiele rozwiązań, więc narysujemy jedno z nich, prowadząc najpierw dowolną prostą 1 prostopadłą do płaszczyzny fi , rysując jej rzut poziomy l' prostopadły do śladu ppżiomego    , a rzut pionowy 1    —

prostopadły do śladu pionowego    - płaszczyzny fi . Wyznaczamy

ślad poziomy Hj i pionowy prostej li przez ślady prowadzimy odpowiednio dowolne ślady    i    płaszczyzny« - wybranej dowol

nie z całego pęku przechodzących przez prostą 1 J.ji płaszczyzn prostopadłych do płaszczyzny jb .

Odwróćmy pierwszą definicję dotyczącą prostopadłości dwóch płaszczyzn w następujący sposobi płaszczyzna oc prostopadła do dowolnej prostej b należącej do płaszczyzny ft , jest prostopadła do płaszczyz-

'    I

ny fi , a następnie w oparciu o tak wypowiedzianą definicji poprowadźmy dowolną płaszczyznę oc prostopadłą do danej płaszczyzny fi> .Na płaszczyźnie fi> Obieramy dowolną prostą b, kreśląc jej rzuty b* i b przez jednoimienne ślady i obrane dowolnie na śladach i Vp płaszczyzny fi - np. 140. Ponieważ istnieje nieskończenie wiele płaszczyzn prostopadłych do prostej b, więc obieramy jedną z nich, kreśląc jej ślad poziomy h« prostopadle do b', a ślad pionowy    przez wę

zeł Z - prostopadle do b .

Opierając się na wyżej wypowiedzianej definicji płaszczyzn prostopadłych, można wykreślić ślady płaszczyzn wzajemnie prostopadłych,bez posługiwania się rzutami pomocniczej prostej prostopadłej do jednej z