37 (479)

00

Przekształcenie Laplace’a

przy czytn F_r(s) jest transformatą Laplace’a oryginału równego 0 dla ł > T, to F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji okresowej o okresie T, która w przedziale (0,T)jest równa

O Ćwiczenie 6.4.6

Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplacc'a oryginałów okresowych. Jeśli tak, znaleźć te oryginały:

^a)

1    1 łi~‘ — 2e~^ł*

1 — c^-3*    a

b).

c)

ir 1 -f e~^J s³ + >r³ 1 — c~’

6.5 Metoda operatorowa

Istotę metody operatorowej przedstawia następujący diagram:

wych:

^a) y' + V = sin t, y(0) = 0;

c) y" + y = sin 21, y(0) = 0, y'(0) = 0;

<0 y'"-y = e^-', y(0) = y'(0) = 0, y"(0) = l

b) y" - 4y = 4i, y(0) = 1, y'(0) = 0; d) y" + 2y' + y = t², y(0) = 1, y'(0) = 0; i f) y"+2y'-8y = cos2t, y(0) = 0, y'(0) = l.

Równanie dla oryginału (np. równanie różniczkowe)
■	, £
Równanie algebraiczne dla transformaty
1	obliczenia
Transformata
]	£-*
Oryginał

O Ćwiczenie 6.5.1

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadniania początkowe dla równań różniczko

O Ćwiczenie 6.5.2

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadniania początkowe dla układów równań różniczkowych:

= x + y,	H "o II _o	^b){	' x' + y'-y = e',	r x(o)
= x - y + 1,	l y(0) = 0;		. 2x' + y' + 2y = 5,	l »(0)
= y-x. |	f *(0)-i.	1	f i' = y + x, r	N O II O
= x + y, l	y(°) = 2,	d)		o II
= Z -t* X,	l x(0) = 3;	1	l x' = 3x + y, {	z(0) = 1.

Metoda operatorowa

81

• Przykład* 6.5.3

n    l

-MZZD—'ww'-11—

u/ł    uc    uc

-e-

Rozważmy obwód elektryczny, w którym opornik o oporności R, cewkę o indukcyjności L i kondensator o pojemności C połączono jak na rysunku. W chwili t = 0 do obwodu tego włączono silę elektromotoryczną e(<). Wtedy dla i > 0, zgodnie z prawem KirchhofFa, rnamy

u/r(0 + u_Ł(<) + u_c(l) = e(t),

gdzie un(t), ui(t) i «c(0 oznaczają odpowiednio spadki napięć na oporniku, cewce i kondensatorze w chwili t. Uwzględniając związki między napięciem a natężeniem prądu w obwodzie na poszczególnych jego elementach dostaniemy

i

u_n(t) = Ri(t), u_L(t) = L^, «c(0 = J i(r)dr + «c(0),

0

gdzie i(t) oznacza natężenie prądu w obwodzie w chwili t. Stąd otrzymujemy równanie, które spełnia natężenie prądu i(t) :

(

*’(0 + Lj_t + ^ J *(^r)^dr + ^uc(0) = «(<)•

0

Załóżmy teraz, że i(t) oraz e(t) są oryginałami i zastosujmy do obu stron powyższego równania przekształcenie Laplace’a:

RI(s) + £(«/(») - .(0)) +    = E(s),

su    s

gdzie I(s) = C. {»(*)} oraz E{s) = C {e(t)J • Stąd

E(s) - ^ + 1.(0)

/(«) --²-\-•

R+sL+—    *

sO

Zakładając, że «c(0) = 0, i(0) = 0, otrzymujemy

/(«) =

E(*)

Jeśli znamy funkcję e(t), to możemy wyznaczyć E(s), a stąd i(t) = C ¹ {/(s)} .

O Ćwiczenie* 6.5.4

Wyznaczyć natężenie prądu płynącego we wskazanych obwodach elektrycznych (przyjąć