502 2

$02

12. Ro/.wązaata zadań

4.    2.125.

5.    (a)    _,)/(4Afr).

(1>) We wfeorze Taylora zastępujemy pochodne przybliżeniami różnicowymi dokładnym; dla wielomianów kwadratowych.

6.    (b) Niech będzie P=h(‘!rx, Q—hdjOy. Lewa strona jest równa

.£<^ui ~^2uo + “ j , <>~²(cosfa P-1) + 2Tcosb-?—- i1 + 2f co$h    - ll =

= § (P^l + Q²) + £ (l P* + % P²Q² + J Q*) + O (h° i *

= 5 (Fⁱ+G²)+^(/^>2+Q²)^a + 0(A⁶).

7. Stosując technikę operatorową i oznaczenia z poprzedniego przykładu pokazujemy, że rozwinięcie sumy

e'-*-'    _€<*-_e-^Q    4

h- —-— -k-------/i&(2coshP+2coshQ + 2)

r    Q 6

zawiera tylko składniki typu Pty, gdzie i+J&4. Należy upewnić się, że to wystarcza. Można też podzielić prostokąt na dwa trójkąty.

3

Wielomian sześcienny=wielomian kwadratowy + T a_i(x-x_ft)ⁱ(y-y_Q)^y~ⁱ.

i^O

Poprawność dla wielomianów kwadratowych wynika z twierdzenia 7.7.2. Ze względu na nieparzystość powyższa suma nie wpływa ani na całkę, ani na wyrażenie przybliżone.

8.    «0,+(l-*)0s;.

9.    Tak. W wielomianie kwadratowym

u, +a_lx + a_iy+a_Ąx²+a_yxy+a₆y¹

występuje sześć współczynników. Ustalenie wartości w sześciu wymienionych punktach daje sześć niejednorodnych równań liniowych. Tch układ ma jednoznaczne rozwiązanie, chyba że macierz jest osobliwa. Gdyby macierz była osobliwa, układ w pewnych przypadkach nic miałby w ogóle rozwiązań. Twierdzenie 7.7.1 pokazuje jednak, że zawsze istnieje co najmniej jedno rozwiązanie. Dlatego macierz jest nieosobliwa i rozwiązanie jest jednoznaczne.

10. Zob. wzór Simpsona. Wybrać osie współrzędnych wzdłuż SQ i QR, zazwyczaj nie prostopadłe.