508 2

50$

12. Ro/wiazania zadań

§ 8.5

1.    W J. = l(3"-(-ir).

(b)    >„=((2 + 0"-12 - /)>'=2 - 5^0/2 sih(» arc tg i).

(c)    y„=(3^,-(-ir)/(3^,0-l). {dj >«,-(-IA1-II).

2. (a) jv=2"-l. (b) >-,^(3* + t-tr-2).    (c) a-JmOi-I).

(d)    v»=in(n-l)2".

3. (a) y„ = cuⁿ => jS»_n = c( u — 1 )*m*. {b> y„*=3"-2".

(c) ^(l-u"')'^. czyli V6_i«*_’(u-I)'=fi.

4.    (a) «,=i(l+_x/5), u₂ = 1(I-_x/5), y_łl⁼(M|~*<5)/(wi — Mj). y_mnlym-Uf

(b) Niech będzie y.-In_: - u_ty_m-*(u_t — ljlnC. Stąd p=i4,. 45,* ,/«£-*e*~^ł.

(°) ** =;*.,,/y„ =r w, + (uj - k,) (u₂iu,y -»■ O ((wj/m,)²*). W oznaczeniach z § 3.2.3 jest x₆ = 1.625, 4*1.6182, w, = 1.6180.

5.    (a), (b) Ta sama macierz stowarzyszona (zcb. zadanie 4 z § 5.2)

0    1    0    ... 0 '

0    0    1    ..o

0    0    0    ... I

-“i-a_k-,-a_k.₂    • -a,

6.    (a) Indukcyjnie dowodzi się, że )|y_/ł||^2_lB, gdzie z₀ = | >*<>||. c„_, ^-az_K -b. Rozwią-zujemy to równanie.

(b)    i|y,||<z«. z₉._x=*mz₉+b, z_Ą=bf(\-m)+(l-6/(l-/n))||y₀||.

(c)    Niech będzie y_n-Tx„, gdzie T~¹ AT=/>=macierz przekątniowa, C„ = T~^lB„T,

**+i={I>~hC_m)x_a.    ||x._M||<(I+h#C₂)||x_w||<exp(>fC₂)||xJ|,

gdzie A₂ = A'|| 7'“'|| ||7'j| ||.r_u||!$![x₀||cxp(wAK₂). Stąd wynika szukana nierówność, przy czym AT, =»|| 7“*¹ ’| • łj 7'_i|.

(d)    'jjvj|^{||y_u\ • trb)a". Zauważmy, że prawa strona jest ograniczona, gdy n-*&, jeśli zrcl.

7. (a) y.=J„+e(-5)\ (bj >•„ = /„ + c(-5)\    <c) >>„ = /„-/„>(-5r~^ł0.

(d) Zgodnie z zadaniem 6 wpływ początkowego zaokrąglenia na y„ może sięgać • 10^-3 • 5", a łączny wpływ dalszych zaokrągleń nic przewyższa \• 10“^J (5^U - l)/(5 — 1 )< <JI0-^ł-5".

8.    (a) u, «»= I. Stąd |w:|^l, |.v,|^ 1 «=• i/, =e'*\ u₂=t~¹'⁹ (p rzeczywiste), więc 2A= =j^v+e~^iv — 2 cos tj. — lsSŻ^L Przypadek pierwiastka podwójnego 2= ± l trzeba wykluczyć.

(b) Macierz sprowadzamy do postaci przekątniowej. Warunek z. (a) musi zachodzić dla wszystkich wartości własnych macierzy A.

9.    (a), (b) /.-2cos(7th/JO) (k = 1,2.....9). Stąd >'_fl=sm(r.£n/łO).

10.    Techniku z zadania 9 daje równość 2 - 2,- (X)/JV²=2 cos (n//fA^r).

/.,(.\') = 2.V-(I - cos (7t/V/Vj)=(rzjf - ~N'* cos ć ‘ (s>/.V)*