64 (98)

CO

0	<TD	e	i	f			0.
1	IO	io^2	io^3	io^4	10^5	10*	10^7

®    ^ l®lomiony I funkcje wymierne

3.2.4. Przykłady równań sproi

a) Równania dwukwudratowc

Cl) <*X* -ł- /m^J + c=0 A.VG R

Stosując podstawienie: t = x² (/ > O), sprowadzamy do równania kwadratowego or^J + fcr + c = o A Ar > O i po obliczeniu jego pierwiastków, na przykład r₂ ( > O ). rozwiązujemy równania: .v² = f, V at²= f_r

Wówczas V,= yź;, -v₂=-/F;, jc₃ =    =    są

pierwiastkami równania dwukwadratowego.

(2) ar* +    + c = O a .v e /?

Stosując podstawienie: r - x (r e /?), sprowadzamy do równania kwadratowego at² + ó/ + c = O A Ar e AT i po obliczeniu jego pierwiastków, na przykład    z,, rozwiązujemy równania:

Z, V JC³=ZV

Wówczas -v, = jc_a = 3/iF^, są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Narodziny cyfry

Cyframi posługiwały się w zamierzchłej przeszłości narody Azji (Hindusi, Chińczycy, Babilończycy), Ameryki (Majowie) i Afryki (Egipcjanie). Cyfry znajdujemy w najstarszych dokumentach — pomnikach pisanych. Pojawiły się prawdopodobnie w IV—III tysiącleciu p.n.e. Cyfry egipskie są prawdopodobnie hieroglifami odpowiednich słów. Podstawowymi cyframi egipskimi są:

Babilończycy posługiwali się systemem mieszanym: liczby od 1 do S9 oznaczali addytywnie za pomocą znaków ▼ (jeden) i -< (dziesięć), liczby więk

kwadratowych

module a) rozwiązuje się, stosując metodę zmiennej pomocniczej. Tę metodę można też zastosować do rozwiązania innych równań:

(1)    tzx -+- b y~x + c = O A x > O.

Podstawiając t — J~x (/ ^ O), otrzymujemy równanie kwadratowe at² + bt -+- c = O, którego pierwiastkami są na przykład Z₂.

Wówczas gdy na przykład Z, > O, /₂< O, manty x, =    V jc₂ =— f7_x (t₂ <0 — odpada, bo t ^ 0).Są

to pierwiastki równania ax + ó Jlx + c = O.

(2)    ax -1- b y/x — d + c = O A x ^ d Podstawiając Z = /x — d (Z > O), otrzymujemy ’ równanie kwadratowe at² ■+■ bt + c + ad — O, którego pierwiastkami są na przykład t_r Wówczas gdy na przykład z, < O, z₂ > O, mamy x_t = Z₂ + d (z_t <0 — odpada, bo z ^ O). Jest to pierwiastek równania wyjściowego:

ax -ł- b y/x — d + c — O.

sze od 59 oznaczali za pomocą znaków liczb 1-59 metodą pozycyjną, sześćdziesiątkową.

N/fajowie około 2000 lat temu liczby od 1 do 19 zapisywali addytywnie, liczby większe zapisywali pozycyjnie.

Cyframi starogreckimi posługiwali się między innymi Pitagoras, Platon i Arystoteles. Znaki są początkowymi literami słów, na przykład A (10-deka), FI (1OO — hekaton), X (1000 — chilios). M (IOOOO — my r i as).

Cyframi jońskimi posługiwał się między innymi Euklides. Były nimi kolejne litery alfabetu a = l >3=2, y = 3..., l = IO, X = 20, A = 30.... p = 10a er = 200, T = 300..., or = 1000, >3 = 2000, y = 3000-

Nad całą liczbą pisano poziomą kreskę, aby odról-nić ją od słowa. Cyfry rzymskie zapisywano za pomocą liter I — 1, V — 5, X — IO, L — 50, C - 100, D - 500 M — IOOO.

Obecnie stosowane (arabskie)

1

2

3

ą

6

6

~r

8

o

to

32

100

900

Egipskie hieroglify (z okresu Starego Państwa)

■

18

■ IB

0 8 8 0

BOD 00

000 000

0000 000

0 0 0 0 a 0 a 0

000 000 000

m

MSB

•

««« •«

Babilońskie (na tabliczkach klinowych)

T

TT

TTT

f Ty Y

YYY 11

111 111

YYY 111 1

YYY 111 TT

YYY 111 111

—

-SS^Y!

Y*~

m.

System Mąjtn*

•

••

•••

• • . •

Z Z

% w s-s

=nr-

Starogrcckie (ateńskie)

1

II

III

1111

r

n

ni

nu

mu

A

ftAAW

H

a

Greckie (Jońskie)

OL

a

V

<5

•

<

n

■*>

V

**

Ti'

Rzymskie

^1

"

III

IV

V

bii

VII

VIII

IX

X

XXXII

radialnych do równe

b) Równania w