68 (87)

gdzie

'l - f 0 I		[A 4	V=AX-L=	f- i ( \ o. 1- .*____
1 i		A		,v+y-8

jest spełniony przez rozwiązanie (dla M = I₃)

^ ⁼    ” A/ L

Macierz    jest uogólnioną odwrotnością macierzy A w metodzie naj-

i i ej szych kwadratów. Ponieważ, jak łatwo można sprawdzić, fi (A) ~ 2.

więc istnieje odwrotność {A* A)”'¹. Zatem

^a/(M )~^a/ “(A⁷ A) 'a⁷ =•”

a następnie

0    3

?    9

x = a;l

				6
I	3	0	3~	,1		7		.i^-
6	_ 2	2	2	“ł		2
				8

Uzyskane rozwiązanie jest optymalne w tym znaczeniu, że skoro już

muszą wystąpić niezerowe „	reszty"		i/j, v7> (bo ukio
*4			- 6 —> f'} ~ -
$2	= y-	■4	—> v2 = -
%	~ ,v +	y -	-8 -> P3=l
to niech chociaż będą takie	, że
/vO xv) V^Tf -f- V-7 A	= V^7	V	~ (A X - h)’ (A X

Przykład 1,25

Rozwiązać układ równań

=    5

AX = L

2.v    +    y

,x    -    y

y

R o z w i ą z a n i e

Żądany warunek

(A X - L)^; M (A X - L) = V¹ M V = min

spełnia rozwiązanie

X -

Ponieważ A jest macierzą kolumnowo pełnego rzędu R(A)-2, AsSP", więc

Aj(_M)=(A^rMA)-¹A^TM =

M = 1

0

i	0
2	0
0	i

gdzie

w taki sposób, aby

(AX-L)^? M(AX~L) =min

0.349    0.302 -0.048'

0.238 -0.476    0.286

Zatem

	5'
0.349 0.302 - 0.048'	_ 1		'1.302'		„V
0.238 -0.476 0.286	— 1		2.524_
	3

oraz

0.127"		^vl
-0.222		^v2
-0.476		< o i t......

(„reszty” rozwiązania)

Niewiadome x i y są wyznaczone w taki sposób, że V⁷MV-min.

Przykład 1.28

Rozwiązać układ równań

X		+	s -	3
- X	+ y	-	2z -	-l
2x	+ y		Z =	5
X		•h	z —	1

69