75 (192)

dt

o

o

£ {t(l(0 - 1(4 - 1))} = £ {<1(0 - (i - 1)1(4 - 1) - 1(4 - 1)}

-7 - e ~ - c

«■*    «²    5

.-,±

s²

Zatem

£{/(0) = ^!(1 -e"²') ‘

b) Wykres funkcji /(<) przedstawiono na rysunku poniżej.

t ¥    ¥

Funkcja /(t) jest okresowa o okresie T = x. Mamy

jr    ^    1T

Ft{s) = J | cos t|e^-J< dt = J cos te “ dt — J cos te~‘‘dt o    o    ę

= £ jcost |l(i) - 1    - |)] - cos4 [l (t-    - l(i - x)j |

= £ {cos41(4) + 2sin (t — ^) 1 (l — j) — cos(< — x)l(t — ir)}

s² + 1 s² + 1

s² + 1

/,    .    2 "T^s

i'¹    ) ⁺ ?rr^e •

Zatem

2e

! — e~^iT s² + l    (s² + l)(l-e —)'

iPrzyHa^.ł2if^M’^l8iS''^,%

Wykorzystując całkę Laplace’a obliczyć podane całki niewłaściwe:

r

*) je~^2t (5f³ + 64 — 1) dt; b*) Je-^tS~dt.

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że wartość szukanej całki jest równa ^*‘(2), gdzie

oo

F(s) = j (5i³ + 64 — l) e~" dt.

Z drugiej strony

Zatem

-22 = 2 " 8 •

J_e-"(_5t' ₊ 6t- 1) dt = F(2)= ™ + £-2| 0

b) Zauważmy, że obliczana całka jest równa F( 1), gdzie

'dt.

7j drugiej strony korzystając z definicji przekształcenia Laplace’a oraz faktu o całkowaniu transformaty otrzymujemy

der x

^TT= 2 -^arctg*

Zatem

j“i*_e-dt = F(i) = | -

arctgs = - - aretg 1 =

14= 1    *    4

• SSSBHBHBWHBHHHIHIMMHHMi

Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć oryginały podanych transformat:

X nr N 3s³-7s² +19s + 5 _LX ,    13s + 26

^ł)F(,)=    ■ ^b)^FW = ,(,.₊4, ₊ 13)-

Rozwiązanie

a) Rozkładamy F(s) na rzeczywiste ułamki proste. Mamy

F(s) =

3s³ - 7s² + 19a + 5 (s-l)²(s² + 9)

-L-+. ²    +*Lz±

s- 1 ^T (s - l)² ^ jJ _{+ 9}-

Stąd

F(s) = -1— + 2^-2-+ 2—__4.1—³

4- 1 (i - l)² s² + 9    3j² + 9

= £ {e } + 2£ { te } 4- 2£ {cos 3t} — -£ {sin 3t}

Zatem

f(t) — ^e‘ + 2te‘ + 2cos3t — 2 sin 3tj l(t), b) Rozkładamy F(s) na rzeczywiste ułamki proste. Mamy

F(s)

13s + 26

2₊    —2s + 5

s(s²+4s + 13) s a² + 4s + 13 '