78 (68)

Jeśli zmienna losowa przyjmuje wartości tylko z pewnego przedziału skończonego (a, b\ to

h

P(-oo < x < -H*>) = P(a < X < b) - I /(.V) dx -I

Dystrybuantą

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowe wygodnie jest charakteryzować także za pomocą funkcji

F(x) - P(X < x)    (2.4)

nazywanej dystrybuantą. Na podstawie wcześniejszych wyjaśnień, możemy zapisać

zmienna skokowa    zmienna ciągła

X

^l' ⁽'^v'^{} =} ^ ^Pl    F(x) = J f(x) dx

^xi^<x

Aby funkcja F(x) była dystrybuantą, potrzeba i wystarcza, by miała następujące własności (rys. 2.3):

i)    była niemalejąca,

ii)    była przynajmniej lewostronnie ciągła,

iii)    przyjmowała wartości !j_m F(*) = 0. lim F(x)~ 1

X—>..«!    X—>4*>

P(X~x)
0.2 V 1 I
	o I V
•V: x,	Xj V, .X,

1 .	■ /''W
0.9‘	!-^-
0.5'	t-0
0.2-	'—*
0	.V, -V; .r, X, x<
	zmienna skokowa

zmienna ciągła

Rys. 2.3

Jeśli zmienna losowa przyjmuje wartości tylko z pewnego przedziału

skończonego (a,b\ to także F(x)i    =0, F(-v)| , =1

Na podstawie dystrybuanty F(x). prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmuje wartości < X <.Vo, można obliczyć ze wzoru (rys. 2.4)

A'2

P(x_] < X <x₂) = J/(x)dx    <=>

•^li

F(jc, < A' < x₂)r= p(X < X₂) - P(X < x| } =

^r2    '^vl

= J/(*)(&*- I f{x)dx

r{x_t)

czyli

P(x_] < X < x₂) = F(x₂) ~ F(x_l)    (2.5)

Funkcja zmiennej losowej X

Jeżeli Y~ <p(X) jest jednoznacznym przekształceniem zmiennej losowej X, to Y jest także zmienną losową. Rozkład tej zmiennej jest tworzony na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X.

79