044

44

2. Zmienne losowe

2.3.2. Rozkład Poissona

Zmienna losowa X przyjmująca tylko wartości całkowite nieujemne ma rozkład Poissona⁸ z parametrem A, gdy

Pr(x = k) = e~^A —    (2.3.5)

kl

dla k — 0,1,2, — Definicja tego rozkładu jest poprawna, to znaczy wszystkie prawdopodobieństwa Pr(X = k) są nieujemne i sumują się do jedynki, gdyż jak wiadomo z rozwinięcia funkcji e^v w szereg Maci aur i na mamy

oo

*=o

Podobnie jak poprzednio, również dla rozkładu Poissona przyjmiemy oznaczenie

p{X,k) = e ^a£.

Załóżmy teraz, że p zmienia się wraz z n, tzn. p — p_n.

Twierdzenie 2.3.1. (Poissona)

Przybliżenie rozkładem Po i s sona

Jeżeli np — np_n —> A dla n —> <*>, to dla każdego całkowitego k ^ 0 zachodzi równość

(2.3.6)

lim bln^k^p) — p(k,k).

n—¹⁰⁰

Dowód. Dla uproszczenia dowodu przyjmiemy, że np = A, zamiast granicy /?/?—► A. Dowód przeprowadzimy przez indukcję.

1° Dla k — 0 mamy

b (n,0,

A

n

n ) V n

-X

2° dla całkowitego k > 0 mamy

b{n,k+\Ą)

& P ₌

(Z) '1

p(k+ 1,A)

p{k,l)

n — k

X

n

k+ 1 1 —

x

A

kT\

n

□

co daje wzór (2.3.6).