230 (69)

■ ML _Ai, fS.6.1. Zmienna losowa a przyjmuj*. ......— -    każdą z jedna-

^ pr Jopodobieństwem. Obliczyć wartość przeciętną tej zmiennej losowej.

-    _{/ a}nie. Jeżeli zmienna losowa przyjmuje każdą z wymienionych wartości z. jed-

to wartość tego prawdopodobieństwa obliczamy

»! + »*+... + *¹*

\jn. Stąd prawdopodobieństwa wypadają

230    6. Zmienne losowe jednowymiarowe

Jak wiadomo, z bezwzględnej zbieżności szeregów wynika ich zbieżni

co daje już rozważaną we własności 6.6.1 równość.

Własność^- 6.6.2. Wartość przeciętna stałej równa się stałej:

E(b)~b.

Własność 6.6.3. Zachodzi równość

E({aX)^k)=a^kE(X^k).

Dowody własności 6.6.2 i 6.6.3 czytelnik przeprowadzi sam. Powyższe trzy H&w. ] pozwalają otrzymać natychmiast następującą własność.

WŁASNOŚĆ 6.6.4. Wartość przeciętna przekształcenia liniowego zmiennej losowej równa przekształceniu liniowemu wartości przeciętnej tej zmiennej

E(aX + b) = aE(X) + b.

Własność 6.6.5. Jeżeli >' jest zmienną losową postaci Y - X - E{X). to E(Y)*0. Dow ód. Mamy E{Y)-E{X)~ E(E{X)) = E(X) — E(X)=0, ponieważ wartość przeciętna E(X) zmiennej losowej X jest stałą, a więc na podstawie własności 6.6.2 £(£(*»= = E( X).

Uwaga. O zmiennej losowej Y, określonej jak wyżej, mówimy, że jest scentralizuj,. Scentralizowanie polega na przesunięciu układu osi współrzędnych do wartości przecięli*;

Własność 6.6.6 (Nierówność Schwarza)(‘). Jeżeli X i Y są dowolnymi zmienr. losowymi o rozkładach, dla których istnieją momenty zwykłe pierwszego i drugiego rzędu,

\E(XY)\ś\E{X²)E(Y²).

Dowód. Niech Z=(X-aY)² będzie zmienną losową o parametrze rzeczywistym o Obliczmy wartość przeciętną tej zmiennej korzystając z własności 6.6.1 i 6.6.3. Man^-)

E(Z) = E(X²)-2aE(XY)+a²E{Y²).

Wartość przeciętna E(Z) jest nieujemna, gdyż nieujemna je>t zmienna losowa J’. ** wiążemy nierówność

E(X²)-2aE(XY) + a²E(Yⁱ)>0.

W tym przypadku wyróżnik J trójmianu kwadratowego rozpatrywanego zc wl^H parametr a musi być niedodatni, tzn.

±J=(E(XY))²-E(X²)E(Y²)śO, . co daje już bezpośrednio tezę omawianej własności.

--    K

(') Hermann Amandus Schwarz — matematyk niemiecki (1843 - 1921).

T6.6. WiHWi puAcim *•«

i losowa X przyjmuje wartości x

'^ri edopodobieństwem p.

czyli    p~—■ ^-

,    11    1    l -

—    £(X) = — -x, H—*x₂+ ... + — -X,*— Y x_k.

n n    n    n *«i

Ittaić przeciętna jest. tu znaną średnią arytmetyczną.

I puzyki ad 6.6.2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości x_x, x_a, ...» x_t z odpowiadającymi prawdopodobieństwami n_xp, n₂p, ..., w,p. Obliczyćp i wartość przeciętną tej zmiennej

f lowwej.

f Obwiązanie. Wielkość p obliczymy ze związku n₁p + /i_ip+... + n_łp=l,

[skąd

I

Oznaczając n, -f /?, + ... +n_t — n, otrzymujemy p

| równe odpowicdnioC) —

Mając powyższe, wartość przeciętną oblicza się natychmiast: £(X)=    ~ =    V

ŚMjc się. że wartość przeciętna jest tu tzw. średnią arytmetyczną ważoną.

PRZ vkt. \n 6.6.1 Sklep otrzymał partię 100 puszek farby. Cięhtry ich były następujące

■tl 6.6 I);

Tablica 6.6.1

..	0.4	0,5	0.6 | 0.7 1 0.-8 |
hr	rr	”44	:o | 20 | 2 1

■«!r ^vk oznacza wartość pomiaru w kg. zaś n_k liczbę pomiarów o wartości x_K.

f ⁽Po/ * " "■*ik«>ści tc można interpretować jako częstości względne sukcesów w n doświadczeniach . ^as>V/n-i definicja prawdopodobieństwa).