Bez nazwyi

12. UTRATA STATECZNOŚCI PRĘTA SMUKŁEGO

12.1. Wprowadzenie teoretyczne

Pręt smukły to pręt, którego wymiary przekroju poprzecznego są małe w porównaniu z długością. Może on być elementem takiej konstrukcji, jak kratownica, rama, ale może też pracować pojedynczo. W czasie swojej pracy w zakresie odkształceń sprężystych pod działaniem różnych obciążeń pręt może doznawać utraty swojej prostoliniowej postaci. Mówimy wtedy o utracie stateczności jego pierwotnej postaci, której wynikiem jest zazwyczaj zanik prostoliniowości osi pręta. Zjawisko to nosi nazwę wyboczenia giętnego i dotyczy prętów o zwartym przekroju poprzecznym (prostokątnym, kwadratowym, kołowym). Możliwa jest również utrata stateczności pierwotnej postaci z zachowaniem prostoliniowości osi. Mamy wtedy do czynienia z wyboczeniem skrętnym, które zachodzi w prętach o przekrojach rozgałęzionych, takich jak np. cienkościenny, symetryczny przekrój krzyżowy. Spotykane są również przypadki wyboczenia giętno-skrętnego, a ulegają takiemu wyboczeniu pręty o cienkościennych profilach otwartych. Zjawisko utraty stateczności można rozpatrywać również od strony mechanicznej. Mówimy wtedy o utracie stateczności stanu równowagi. Rozważymy, dla wyjaśnienia problemu, przypadek pręta utwierdzonego na jednym końcu, na który działa osiowa siły ściskająca (rys. 12. la).

Rys. 12.1. Ilustracja stanów równowagi

Pręt podlega działaniu siły statycznej. Podczas zwiększania siły pręt pozostaje prostoliniowy aż do pewnej jej wartości granicznej. Siła czynna i reakcja tworzą wtedy, pozostający w równowadze, liniowy układ sił (rys. 12.la). Po przekroczeniu wartości granicznej siły, zwanej siłą krytyczną, pręt ulega wygięciu. Następuje wtedy zanik poprzedniego stanu równowagi, czyli utrata jego stateczności, i pojawia się nowy układ sił i nowy stan równowagi (rys. 12.Ib).

Omówione wyżej zjawiska przedstawiono graficznie na wykresie 12.1 c w układzie współrzędnych: F - siła ściskająca,/ - strzałka ugięcia pręta. Odcinek OB wykresu reprezentuje stany stateczne równowagi pręta prostego, punkt B jest punktem granicznym, zwanym też punktem bifurkacji, czyli rozgałęzienia równowagi, odcinek BC (BC) jest odcinkiem stanów równowagi pręta zgiętego.

Na ogół nie jest dopuszczalna praca pręta, który doznał wyboczenia. W związku z tym nie jest dopuszczalne jego obciążanie siłami bliskimi siły granicznej, czyli krytycznej. Rzeczywista siła w pręcie nić może przekraczać siły dopuszczalnej, która jest ilorazem siły krytycznej i współczynnika bezpieczeństwa.

Wyznaczenie siły krytycznej odbywa się albo w sposób teoretyczny, albo eksperymentalny. Zagadnienie wyboczenia pręta ściskanego rozwiązał pierwszy Euler. Jego rozwiązanie odnosi się do pręta idealnego, o końcach podpartych przegubowo i przegubowo-przesuwnie. Metodę stosowaną przez Eulera pokażemy przy rozwiązywaniu problemu utraty stateczności pręta rzeczywistego, czyli pręta, którego oś wykazuje odchylenia od prostoliniowości. Będziemy zajmować się prętem o dolnym końcu utwierdzonym, obciążonym siłą osiową na swobodnym

pręta

końcu (rys. 12.2).

Pręt wykazuje odchylenie od prostoliniowości opisane funkcją

^v'_u(-^t)=/_D^-cos^j,    (12.1)

gdzie: f₀ - odchylenie swobodnego końca pręta od stanu idealnego, małe w porównaniu z wymiarami jego przekroju poprzecznego.

W pręcie z początkową krzywizną nie zachodzi stan równowagi jego postaci prostoliniowej, czyli nie obserwujemy utraty stateczności tego stanu. Obserwujemy natomiast stany równowagi wywoływane ściskaniem i zginaniem. Jeden z tych stanów, wywołany siłą F mniejszą od siły krytycznej pręta idealnego, oznaczono linią punktową na rysunku 12.2. Równanie różniczkowe linii ugięcia pręta ma postać: