Bez nazwyx

150

Opis elementu wykonujemy we współrzędnych lokalnych (.r,y) związanych z linią środkową elementu (rys. 15.2). W ogólnym przypadku płaskiej konstrukcji ramowej poszczególne elementy mogą przenosić siły osiowe /V, siły poprzeczne T oraz momenty gnące M Te trzy wielkości będziemy nazywać uogólnionymi siłami lub krotko obciążeniami i oznaczali symbolem O' (indeksem u góry będziemy oznaczać numer elementu, indeksem u dołu - numer węzła). Obciążenia działające na element zapiszemy jako macierz jednokolumnowa

(15.1)

Działaniu tych obciążeń towarzyszą odkształcenia całego elementu, a w szczególności przemieszczenia węzłów: liniowe u, v oraz kątowe <fi. Zbierzemy je w macierz przemieszczeń

q'

q_f

q_t

(15.2)

A

Na rysunku 15.2 przedstawiono dodatnie zwroty obciążeń i przemieszczeń - są dodatnie, gdy pokrywają się ze zwrotami osi x,y. Dodatni zwrot <j> i M ma miejsce, gdy obrót następuje od osi x do y.

15.3. Lokalna macierz sztywności

Możliwe przemieszczenia poszczególnych węzłów nazywamy stopniami swobody. W przypadku elementu belkowego pracującego w jednej płaszczyźnie w każdym węźle występują 3 stopnie swobody. W celu określenia sztywności elementu wyznaczymy uogólnione siły w węzłach, wywołane kolejno przemieszczeniami w kierunku wszystkich stopni swobody przy zablokowaniu przemieszczeń w kierunkach pozostałych stopni swobody. Na rysunkach 15.3, 15.4 i 15.5 przedstawiono element belkowy poddany dodatnim przemieszczeniom węzła k kolejno

w kierunkach trzech stopni swobody. Obok rysunków podano wynikające z elementarnej wytrzymałości siły, jakie te przemieszczenia wywołują.

A

^uk

N, — —

N; =

E A

I

EA

Rys. 15.3. Przemieszczenie osiowe węzła k

Rys. 15 4. Przemieszczenie węzła * prostopadle do osi elementu

Uogólnione siły wywołane przemieszczeniami i-tego węzła będą analogiczne, zmieni się jedynie znak przy N i T. Współczynniki stojące przed przemieszczeniami na rysunkach 15.3 do 15.5 nazywamy sztywnościami elementu. Oznaczamy je symbolem k,_k Sztywność k,_k określa siłę działającą w kierunku i-tego stopnia swobody wywołaną jednostkowym przemieszczeniem i-tego stopnia swobody. Po żebranin wszystkich sztywności y-tego elementu w macierz k^/4l6 otrzymujemy macierz sztywności elementu. Po pomnożeniu macierzy sztywności elementu przez macierz przemieszczeń otrzymujemy macierz obciążeń działających na y-ty element: