CCF20090321037

w Londynie, w Nowym Jorku czy w Buenos-Aires; ale znaleźlibyśmy także analogiczne teksty noszące tę samą datę, lecz odbiegające nieco od poprzednich albo też zgoła niepodobne do tamtych i przynoszące wiadomości bądź to całkiem prawdopodobne, bądź absurdalne i nieprawdopodobne, na przykład doniesienia o bitwie morskiej pomiędzy flotą rosyjską a flotą meksykańską na Jeziorze Genewskim itp.

Toteż — gdybyśmy nawet wyobrazili sobie istotę nadludzką, która byłaby tym w porównaniu z najbardziej wykształconym człowiekiem, czym ten wykształcony człowiek w porównaniu z analfabetą ledwie umiejącym się podpisać i gdybyśmy tysiąckrotnie spotęgowali to porównanie, tak że nasza istota nadludzka byłaby zdolna ogarnąć alfabetyczne rozwinięcie % dostatecznie rozległe,*aby znaleźć tam Cyda — nasz nadczłowiek napotkałby równocześnie tyle innych urozmaiconych i osobliwych tekstów, że łatwiej by mu było samemu stworzyć dzieła nie ustępujące najlepszym aniżeli wydobyć ustępy najbardziej interesujące spośród mnóstwa tekstów bzdurnych czy nieciekawych. Rzecz przedstawiałaby się tak samo, gdyby skierował on swą uwagę na nowiny zawarte w dziennikach opatrzonych datą jutrzejszą; tylko przeczucie najbliższych wydarzeń mogłoby mu dać pewne szanse wydobycia nielicznych wiadomości prawdziwych spośród nieprzebranej masy informacji fałszywych łub bezsensownych.

Wystarczy chwila zastanowienia, aby uświadomić sobie, że gdyby wszystkie drukowane teksty Cyda zaginęły, to próba dokładnego odtworzenia tego tekstu drogą cierpliwego losowania znaków alfabetu byłaby najbardziej beznadziejnym zabiegiem, do jakiego moglibyśmy się uciec. I gdyby nawet, przyjmijmy, jakaś istota nadludzka była w stanie dokonać dostatecznie dużej liczby losowań, to otrzymałaby całe mnóstwo tekstów. mniej lub bardziej przypominających Cyda i, aby wybrać tein właściwy, musiałaby odwołać się do swej pamięci łub do pamięci współczesnych; prościej byłoby od tego właśnie zacząć.

Czy mamy wyciągnąć stąd wniosek, że rezultaty, jakie otrzymaliśmy, są pozbawione jakiegokolwiek znaczenia? Bynajmniej. Nie mają one wprawdzie żadnej wartości praktycznej, mogłyby natomiast okazać się wartościowe z punktu widzenia matematyka, gdyby otwierały drogę do badań nad własnościami nieskończonych ciągów cyfr wyrażających tę czy inną liczbę niewymierną. Niejednokrotnie już wskazywałem na znaczenie tych dociekań, zdaję sobie jednak sprawę z wyłaniających się tutaj trudności i muszę przyznać, że nie wiem, w jaki sposób można by te trudności pokonać.

Rozważania nasze prowadzą, w moim przekonaniu, do wniosku, że jasny na pozór pogląd matematyka na twór taki, jak nieograniczony ciąg liczb całkowitych, zawiera w sobie niemało złudzeń. Po każdej liczbie całkowitej następuje inna liczba całkowita, a operacja przechodzenia od n do n + 1 wydaje nam się na pierwszy rzut oka identyczna przy jakimkolwiek n; ale trzeba jeszcze przedstawić sobie ową liczbę n. Największe liczby, jakie możemy uważać za zdefiniowane, to te, które w numeracji alfabetycznej reprezentowane są przez książki znajdujące się w naszych bibliotekach, książki, które wolno nam (o ile nie jest ich nazbyt dużo) traktować jako uszeregowane jedne po drugich w określonym porządku. Ale ustalić jakąkolwiek własność liczb w ten sposób definiowanych jest rzeczą absolutnie niemożliwą.

Można oczywiście definiować liczby jeszcze większe, ale będą to liczby „izolowane”, zdefiniowane w sposób szczególny. Możemy na przykład przez a₁ oznaczyć 10¹⁰, następnie przez a₂ oznaczyć 10^ai, przez a₃ — 10“;$, itd., aż do takiej liczby a, której wskaźnikiem będzie a_x i którą nazwiemy b_l3^- może-

79