CCF20120509058

*1V    łła I»UŁTT KJ/.UIIIU I l>UpUIUVUŁI

przeto

a_x = 2y + [x² + 2y(2 + t)]2x — 2xy(4 + 2t), a_y = 0 + L*² + 2y(2 + t)]( — 2y) — 2xy( — 2x),

czyli

ci_x = 2(x³ + y),

a_y = 2y[x² — 2y(2 + t)].

W punkcie K (2, 3) dla t = 2,

a_x(2, 3, 2) = 2(8 + 3) = 22, a_y(2, 3, 2) = 2 • 3[4 - 2- 3(2 + 2)] = - 120, zatem wektor przyspieszenia

a = a_x i + a_y j = 22 i - 120 j,

a jego moduł

a = Ja^zx + a² = _%/(22)² +( - 120)² = 122.

4.1.2. a. Równanie różniczkowe linii prądu możemy zapisać w następującej postaci:

v_xdy — i^dx = 0,

gdzie

v_x = a + bt, = x;

stąd

(a + bt)dy — xdx = 0.

W chwili t = t₀

(a + bt₀)dy — xdx = 0,

a po scałkowaniu

(a + bt₀)y — jx² = C.

Stałą całkowania C wyznaczymy z warunku brzegowego, określonego współrzędnymi punktu K (1, 2), czyli dla x = 1, y = 2, wobec tego

C = 2(a + bt₀) —

Po uwzględnieniu stałej całkowania otrzymamy równanie linii prądu

Ca + bt₀)(y-2) = i(x² — 1).

b. Równania różniczkowe toru elementu płynu:

dx

— = dt,

dla

v_x = a + bt oraz v_y = x

będą miały następującą postać:

dx = (a + bt) dt, dy = xdt.

l'o scałkowaniu pierwszego równania

x = at + b— + C,

gdzie dla t = t₀, x = 1, otrzymamy

C = \ —at_r

btl

2 ’

u zatem

x~ 1 = -b{t² -t%) + a(t-t₀).

I',, podstawieniu uzyskanej zależności do drugiego równania różniczkowego toru, utrzymamy:

“1

d y

b(t² — to) + a(t —1₀) + 1

dt,

ikąd po scałkowaniu i uwzględnieniu warunku brzegowego: dla t = t₀, y = 2,

y — 2 = _z(t³ - 3 tlt + 2tg) + (t - t₀)

O

*-1=2 ^h(^f “ *o) + «(t - t₀),

Równania toru możemy zatem opisać układem równań parametrycznych: 1

1

y — 2 — -ó(t — 3 t₀t + 2t o) + (t —1₀)

Mocluinika płynów