8. Miara Lebesgue a na R1  rozwiÄ…zania
Ćw. 8.1 Niech A będzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue a (wiadomo, ze taki
zbiór istnieje). Wówczas A nie spełnia warunku Caratheodory ego, tzn. istnieje taki
zbiór E ‚" R, że
l"(E) = l"(E )" A) + l"(E )" A ),

co pokazuje, że l" nie jest addytywna na 2R.
1
Ćw. 8.2 Każdy odcinek postaci (a - , a] jest pokryciem zbioru {a} zbiorem z półpier-
" n
1
ścienia R. Co więcej {a} = (a - , a] i z ciągłości miary dostajemy, że
n=1
n
"

1 1 1
l({a}) = l( (a - , a]) = lim l((a - , a]) = lim a - a + = 0.
n" n"
n n n
n=1
StÄ…d
l([a, b)) = l((a, b]) + l({a}) - l({b}) = b - a + 0 - 0 = b - a.
Z kolei
" " " "

l([a, b)) = l( [a+n-1, a+n)) = l([a+n-1, a+n)) = (a+n-1-a-n) = 1 = +".
n=1 n=1 n=1 n=1
Ćw. 8.3 Ustawmy liczby wymierne w ciąg: Q = {q1, q2, . . .}. Dla każdego k możemy zna-
µ
lez
ć przedział otwarty Pk, zawierający qk, o długości mniejszej niż . Wez
my
2k
"

G = Pk.
k=1
G jest gęsty w R, tzn. G = R, gdyż zawiera wszystkie liczby wymierne, oraz
" " "

µ
l(G) = l( Pk) l(Pk) = µ.
2k
k=1 k=1 k=1
Ćw. 8.4 Niech Px = [-x, x]. Rozważmy funkcję f(x) = l(E )" Px) (dla x 0). Ponieważ
dla każdych x, y nieujemnych
|f(x) - f(y)| 2|x - y|,
więc f jest funkcją ciągłą na [0, +"). Co więcej f(0) = 0 i limx" f(x) = l(E).
Zatem na mocy własności Darboux dla każdego a " [0, l(E)) istnieje taka liczba xa,
że f(xa) = a. Oznacza to, że dla zbioru A = E )" [-xa, xa] mamy l(A) = a.
Ćw. 8.5
1 l(A *" B) = l(A) + l(B) - l(A )" B) > 1 - l(A )" B).
Stąd l(A )" B) > 0, a więc A )" B = ".