plik


ÿþ9. CaBka Riemanna a caBka Lebesgue a  rozwizania w. 9.1 Niech P bdzie dowolnym podziaBem odcinka [0, 1], niech s bdzie dowolnym odcinkiem tego podziaBu. Wtedy:  ms(f) = inf{f(x); x " s} = 0, bo odcinek s zawiera przynajmniej jedn liczb wymiern,  Ms(f) = sup{f(x); x " s} = 1, bo odcinek s zawiera przynajmniej jedn liczb niewymiern. Suma górna U(f, P ) = Ms · "s = 1 · "s = 1 s"P s"P jest ró|na od sumy dolnej L(f, P ) = ms · "s = 0 · "s = 0, s"P s"P wic funkcja nie jest caBkowalna w sensie Riemanna. f jest mierzalna w sensie Lebesgue a, bo Q, nQ " B. f(x) dl(x) = 1[0,1]\Q(x) dl(x) = l([0, 1] \ Q) = 1. I [0,1] w. 9.2 Niech P bdzie podziaBem zawierajcym odcinki o koDcach w punktach caBkowi- tych. Wówczas dla ka|dego n (-1)n inf{f(x); x " [n, n + 1)} = sup{f(x); x " [n, n + 1)} = . n Dlatego f jest caBkowalna w sensie Riemanna i (-1)n f(x) dx = n n"N (szereg zbie|ny). f nie jest caBkowalna w sensie Lebesgue a, bowiem nie istniej f+ dl i f- dl, gdy| 1 1 s równe odpowiednio i . n"N n"N 2n 2n-1 w. 9.3 Na mocy twierdzenia o równo[ci caBki Riemanna i Lebesgue a f nie jest caBko- walna w sensie Riemanna, je[li zbiór jej punktów niecigBo[ci jest miary (Lebesgue a) niezerowej. Poka|emy, |e F jest zbiorem punktów niecigBo[ci funkcji 1F . I Niech xn ’! x0 " F , xn " F dla ka|dego n (taki cig istnieje, bo zbiór [0, 1] \ F jest / gsty w [0, 1]). Wówczas 1F (xn) = 0 dla ka|dego n, za[ 1F (x0) = 1. Na mocy definicji I I Heinego oznacza to, |e 1F nie jest cigBa we wszystkich punktach x0 " F . I

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11 tw leb? rozw
9 riem a leb
8 m leb rozw
5 tw leb rozw
RozwĂlj ciÄ…Ĺzy
2009 rozw zad
A1 mat rozw
a2 chem rozw
Lista rozw

więcej podobnych podstron