ÿþ9 . C a Bk a R i e m a n n a a c a Bk a L e b e s g u e a r o z w i z a n i a
w . 9 . 1 N i e c h P b d z i e d o w o l n y m p o d z i a Be m o d c i n k a [ 0 , 1 ] , n i e c h s b d z i e d o w o l n y m
o d c i n k i e m t e g o p o d z i a Bu . W t e d y :
m s ( f ) = i n f { f ( x ) ; x " s } = 0 , b o o d c i n e k s z a w i e r a p r z y n a j m n i e j j e d n l i c z b
w y m i e r n ,
M s ( f ) = s u p { f ( x ) ; x " s } = 1 , b o o d c i n e k s z a w i e r a p r z y n a j m n i e j j e d n l i c z b
n i e w y m i e r n .
S u m a g ó r n a
U ( f , P ) = M s · "s = 1 · "s = 1
s "P s "P
j e s t r ó |n a o d s u m y d o l n e j
L ( f , P ) = m s · "s = 0 · "s = 0 ,
s "P s "P
w i c f u n k c j a n i e j e s t c a Bk o w a l n a w s e n s i e R i e m a n n a .
f j e s t m i e r z a l n a w s e n s i e L e b e s g u e a , b o Q , n Q " B .
f ( x ) d l ( x ) = 1 [ 0 , 1 ] \ Q ( x ) d l ( x ) = l ( [ 0 , 1 ] \ Q ) = 1 .
I
[ 0 , 1 ]
w . 9 . 2 N i e c h P b d z i e p o d z i a Be m z a w i e r a j c y m o d c i n k i o k o Dc a c h w p u n k t a c h c a Bk o w i -
t y c h . W ó w c z a s d l a k a |d e g o n
( - 1 ) n
i n f { f ( x ) ; x " [ n , n + 1 ) } = s u p { f ( x ) ; x " [ n , n + 1 ) } = .
n
D l a t e g o f j e s t c a Bk o w a l n a w s e n s i e R i e m a n n a i
( - 1 ) n
f ( x ) d x =
n
n "N
( s z e r e g z b i e |n y ) .
f n i e j e s t c a Bk o w a l n a w s e n s i e L e b e s g u e a , b o w i e m n i e i s t n i e j f + d l i f - d l , g d y |
1 1
s r ó w n e o d p o w i e d n i o i .
n "N n "N
2 n 2 n - 1
w . 9 . 3 N a m o c y t w i e r d z e n i a o r ó w n o [c i c a Bk i R i e m a n n a i L e b e s g u e a f n i e j e s t c a Bk o -
w a l n a w s e n s i e R i e m a n n a , j e [l i z b i ó r j e j p u n k t ó w n i e c i g Bo [c i j e s t m i a r y ( L e b e s g u e a )
n i e z e r o w e j . P o k a |e m y , |e F j e s t z b i o r e m p u n k t ó w n i e c i g Bo [c i f u n k c j i 1 F .
I
N i e c h x n ’! x 0 " F , x n " F d l a k a |d e g o n ( t a k i c i g i s t n i e j e , b o z b i ó r [ 0 , 1 ] \ F j e s t
/
g s t y w [ 0 , 1 ] ) . W ó w c z a s 1 F ( x n ) = 0 d l a k a |d e g o n , z a [ 1 F ( x 0 ) = 1 . N a m o c y d e f i n i c j i
I I
H e i n e g o o z n a c z a t o , |e 1 F n i e j e s t c i g Ba w e w s z y s t k i c h p u n k t a c h x 0 " F .
I
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