DSC07025 (4)

3B

Pbainiż

lira M i — lim

W —PO V “ W .n-^co

r/l- lim -i=-=

V 'TT n—00 Crłl

1-1 = 1

ora* Iłm-lsj

więc / twiedzrnia o trzech ciągach wynika, że Km ?/sin4=i.

"—bo y n

g) Zauważmy najpierw, źe n-ty wyraz ciągu

y/n^J + 1    \A»³ + 2

jest sumą n składników, wśród których najmniejszy jest równy — = _a najwiąkey "Tj • Dla każdego n € N prawdziwe są zatem nierówności

y'*³ +1

n •    i <    ^    >    1

>/n^J + n ^ %/n^+T y/n² + 2

Ponieważ

lim

= lim

= 1 oraz lim

= lim

l—oo y/n? +1

wiąc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

lim [~= + ~=L== -ł-...-|— }    | = 1

n-oo \\/n³ +1    s/«? T 2    \fti^a-f*n/

h*) Dla n e N prawdziwa jat nierówność

lpga(2ⁿ+l) ^ log₀ 2

\/^5

= i.

Mamy zatem

Iog_a (4» + 1) 5 log_a (4ⁿ + 4") 2n + 1

U*,(2ⁿ + 1) ,log_a(2ⁿ+2ⁿ) _ n -ł-1 log₂ (4" +1) - log_a4ⁿ    2n *

*    j.»°8»(2"łl) >n + i

²«+l ^ log₂(4ⁿ + l) ^ 2n Ponieważ zachodzą oczywiste równości

i»_    2    1    »+1.    1

więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

_!im jofe(y-n)_ri

log₃ Q4ⁿ +1) 2*

I) Zauważmy, że dla n € N prawdziwe aą nierówności

0<

i * di⁺ęrr5)ifr-⁺ra ^{< n} i

przykłady

Zauważmy dalej, te ciągi .zgranie**) ąc* badany ciąg z bm-j \ *    _ftrony

•unB granice. Mamy bowHan

iim_o = o ««    = «5L^tnfMir ^m £n{h - TZTTt) “ "

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika. te

(STW⁺-⁺^55)

}) Mamy    _t

V5. -3- -4— 6^1- (I)" - (|)“.    _    .

Zatem dla n $: 2 zachodzą niańwndri

.VI-v- (iv ew*- ©■ -sr

Ciągi ograniczające badany ciąg z lewej i z prawej auony mają ta tanie gran kas. Mamy bowiem

<»“ ^5 =5:

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika* k

lim V5ⁿ -3»-»^ł =5*

• Przykład 1.9

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotooicznym i ograniczonym uzasadnić zb.cz, ność podanych ciągów:

^b> »’*= U ⁺ 2!⁺ " ⁺ n!⁺ (n +1)1'

d*) C = (‘ + 0 (‘ ⁺ 5») ' ⁺ W) ^;

i t&a

1 + r.

c) ⁼ 2, anłi ==

_i    2    ,__*    . z x    ■ -.

e) wi = 3, u»_n^j = \/iOn + B; f) «fn = jj+j ⁺ 3³ + 2    3* + 3

Obliczyć granice ciągów (x_n)» (*«) ora* (*%) •

Rozwiązanie

₀    .    . ._._.    _ elacu monotonicznyin i ograniczonym.

Rozpoczniemy od sformułowania twierdzenia o W*    _{nłCWUiy z} góry (i dołu) jcal

Ciąg niemolejący (nieroanący) od pewnego numeru    **

zbieżny do granicy właściwej.    , ,    .___j_. ,

.    \ Ponieważ ciąg ten ma wyrazy onriat-

o) Zbadamy najpierw monotoniczność ciągu \*~) •

nie, więc wystarczy porównać iloraz    ^{x l}*