DSCN1120 (2)

skąd

(^X==?

\r*= 2 lub -2.

Wielomian, o którym mowa w zadaniu, ma postać W(x) = (x - 5) (x - 7) (x - 9):Q(x), gdzie Q jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Ale W(2k - 1) = (2k - 6) (2k - 8) (2k -10)- Q{2k - 1), więc w otrzymanym iloczynie mamy trzy kolejne liczby parzyste, co oznacza, że każda z nich jest podzielna przez 2, przynajmniej jedna przez 4 i jedna przez 6.

Wobec tego iloczyn ten jest podzielny przez 48.

3.25.    Pole trójkąta opisanego na okręgu wyraża się wzorem:

P = -r(a + b + c\ gdzie a, b, c oznaczają długości boków

trójkąta, natomiast r - długość promienia okręgu.

a + c    1    1

Jeśli b =    , to P = -r(a + b + c) = -r• 3b.

Z drugiej strony P = -b-h (gdzie h jest wysokością opuszczoną na

bok b), czyli 3r — h.

3.26.    Wystarczy wykazać, że z trzech liczb (u_3fc+1, a_3k+2, a_3t+3) pierwsze dwie są zawsze nieparzyste, a trzecia parzysta. Łatwy dowód indukcyjny zostawiamy Czytelnikowi.

3.27. Wskazówka. Najpierw należy wykazać, że ciąg (xj jest malejący. Ponadto jest on ograniczony z góry przez liczbę Aby wykazać, że jest on ograniczony z dołu wystarczy zauważyć, źe x_n > 0 dla każdego neN₊.

Wiadomo, że każdy ciąg malejący i ograniczony z dołu ma granicę.

Korzystając z podanego wzoru rekurencyjnego wyznaczamy

n/2

szukaną granicę: g = i —

Wskazówka,

fli = 1.

3.28.

a₂ = l+ P². a₃ = ¹ + P² + P³*

a^ = 1 + p² + ... + p",

czyli

(^^(P" ¹ ” !)⁺ !» «Uap#l ^fl" ' (^n, dla p = 1.

Ciąg (aj jest zbieżny dla O < p < 1, rozbieżny dla p ^ 1.

3.29. Wskazówka.

1) a_m = 4" + 2.

Z założenia prawdziwości wzoru dla Jiczb naturalnych k i k + 1 należy wykazać prawdziwość wzoru dla liczby H1W tym celu należy zauważyć, że

^flk+2 = 2a*+i + 8a_ł-18 = 2(4*⁺¹ +2) + a(4‘ + 2)-18 = = 2 • 4* ⁺¹ +4 + 8-4*+ 16-18 =

= 2*4* ⁺¹ +2-4* ^{+ 1} +2 =

= 4* ² + 2.

3.30.    Wskazówka. Nietrudno wykazać, że

i <*«+i< 3).

neN

Ponieważ dany ciąg jest rosnący i ograniczony z góry zatem posiada granicę skończoną g. W celu wyznaczenia jej korzystamy z wzoru rekurencyjnego, otrzymując:

g = \{ i + v/i3).

Uwaga. Jeśli Czytelnik będzie miał kłopoty z rozwiązaniem zadania proponujemy zapoznać się z rozwiązaniem zadania 3.31.

3.31.    1) Zauważmy, że a₂ *= *Jr + *Jir > y/r = a_x, czyli a₂ > a,.

Załóżmy, że a_m>a_H„_l. Wykażemy, że a,,_{+ 1} >a„, badając w tym celu znak różnicy a„₊i — a_H.

1 — Zbiór zadaiL 97