DSCN1147 (2)

Zadanie ma rozwiązanie wówczas, gdy \AB\ < 2r, czyli ad

• ar    ^y

—-^ 2r.

jR + r

Stąd otrzymujemy warunek: a ^2(R + r).

2) Przypadek drugi: okręgi są styczne wewnętrznie. Ponieważ AABE ~ ABCD (rys. 5.53b), więc

mjm _{skadjc =} _J?l_

|/4B|    |B£|’“^ą R — r'

<2r.

Zadanie ma rozwiązanie wówczas, gdy x ^ 2r, czyli gdy ar

R-r

Stąd otrzymujemy u < 2 (R — r).

Uwaga. Oznaczenie przyjęto jak w przypadku 1).

5.54. Wprowadzając oznaczenia (rys. 5.54)

MOJ = .y, |0, B\ = r. |0₂C| = R, mamy \A0₂\ = x + r + R.

Ale

. 1

r = x^,sm-a

R = (x + r + K)sin-a, więc

a stąd

x(l + sin-a)sin^a

kL-i_L:

i    . 1

1 — sin-ot

Wobec tego

n-R² (R\i    /^1+suł2“V

■ t⁼ (—r i ’^{dla ae(0}°^; 11

■ 1 -sin-a ⁷

co kończy dowód.

Warto zauważyć, że

1 + sin-a = 2sin²(45° + t)

2    4

1    I    n

i — sin-a ⁼ 2 cos² (45° + -),

la wtedy

² = tg^ł(45° +^).

5.55. a) W dowolnym równoległoboku ABCD z tw. cosinusów, mamy: MC|² = \AB\² + |J5C|² - 2\AB\-\BC\-cos\<B\,

\BD\² = \AB\² + |£C|² - 2\AB\-\BC\-cos\<A\.

Dodając powyższe równości stronami i uwzględniając, że cos<i4 + cos <B = 0, otrzymujemy

MC|² + \BD\² = 2\AB\² + 2|BC|².

151