DSCN1121 (2)

Ponieważ

^am+i ~ a. = y/r + a.- y/r + a.., = a.-o.-i

y/r + a. + y/r + a.__t '

więc

a.+ i

co oznacza, że ciąg (aj jest rosnący.

Z równania a_-+1 = y/r + a_m. otrzymujemy oi+i = r + a_m.

Stąd

—— + — ^am+l °m4

r    a. r

< — + — = —7=+ 1 ^fli    x/r

oznacza to, że ciąg (aj jest ograniczony z góry przez liczbę y/r + 1. Jest więc zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez g. Z warunku a£+₁ =r + a_m mamy: lim (<£+,) = r + lim a_m.

czyli

g² = r + g, a stąd g² — g — r = 0.

'y *    ,.    1 + ■_N/T+~4r

Zatem lim a_ =--.

• -00 "    2

2) Rozumowanie analogiczne jak w 1) Odp. lim a_n = r.

■-♦00

3.32.    a.*, =(y +    = ya, +    - ya„-i =

= «.+ y(«_w

Stąd

^fl«+i - a. = y(fl» - a_n_ 1), dla n = 2, 3, 4,... czyli

^a2 - ^ai = (fi ~ «) = (P - a) *7°, a₃ - a₂ = 7(«2 ~ «i) = (P - a)-y\

~ *₃ = 7(^3 -a₂) = (P- a) y²» a, -    = y(a₄ -a₃) = (£- a) y³

«»+i -a„ = y" ¹ («-/*)•

Dodając powyższe nierówności stronami otrzymamy.

O.+ I §§! = (/?-a)(y° + y' + _ + 7*~') =

— (P~ ®)

■ /-l

y — i *

stąd fl„+i = a, +(fi-a)

f-1

y-l

Zatem ciąg n, jest zbieżny, jeśli \y\ < 1 i wówczas

lim a_m =

l^a7 — P

Jeśli y = 1, to a_m+2 = 2a_m+t - a_H, czyli

^fl«+2 ^fln+l ⁼ °n+l ”^flą*

Zatem w tym przypadku (aj jest ciągiem arytmetycznym zbieżnym wówczas, gdy a = /?.

Jeśli y = -1, to a„₊₂ = a„

Ciąg (aj ma wtedy postać a, ot, /?, ot, /J, ...jest więc zbieżny tylko wówczas, gdy ot = P

Jeśli |y| < 1, to (aj jest ciągiem zbieżnym dla dowolnego ot, 0 do liczby ^    | » co wykazano już wyżej.

3.33. Wskazówka.

5 14 27    2n² — w —    1    1-5    2*7    3-9

9 20 35    2n² + n-    l~3-3    4-5    5-7

(n — 1) (2w + 1)    1 -2-3-...-(n — 1)

(n + 1) (2/i - 1) ~ 3-4*5~.(n + 1)

. 5 • 7 • 9 •... • (2/i j- 1)    1-2 2n +    1 _

^ ‘ 5 • 7 •• (2/i — 1) n(n+l)    3

₌ 2 2/i + 1

3 n² + n *

|³*³⁴- Ponieważ n₃ =    = 0, więc u_u_, = 0 dla fce2V+.

Natomiast

„    _    4k²    fe _    2Ł²___{_}

I_ ²*⁺² (2k + 1) (2k + 2) ^Ulk (fc + 1) (2k + 1) ²⁴

99