img023

23

d_k(*_B.9) - I *_a t $‘4: c~²\f(x_m) - f(g)j 4. *tn(e,c)4£

co oznacza, że lim x « g w sensie metryki d,,. tn —*.oo m

Dowód zoutał więc zakończony,

2 twierdzenia 2.1 wynika między innymi, że dowolny zbiór AcR domknięty (otwarty) w przestrzeni E¹ ■ E^ Jest również zbiorem domkniętym (otwartym) w przestrzeni (R,p). Co więcej, domknięcie zbioru R w przestrzeni (R,f>) pokrywa się ze zbiorem R, rzn.

^c1;r._p)^r ’ ^R(S,p) " ^R

■zobecz ćwiczenie 2). Z tego powodu bardzo często rozszerzona oś liczbowa jest oznaczana symbolem R, który jak stwierdziliśmy teraz ma swoje uzasadnienie.

Przykłady

1.    W przestrzeni (R,p) kula K( + oo,r) Jest to zbiór

[xeR: I f (x) - f( + co)l<r}a{xcR: 1 - ^TtTT ^{< r}) ^uf^fOC>i

Chwilowo ograniczymy się do przypadku r 41. Wówczas rozwięzaniem nierówności 1 -    < ^r " zbiorze R jest przedział niewłaściwy (i- -

- 1,♦<*>). A więc, jeśli r41, to K( + oo,_r) ■ (i - l, + °°)u

Podobne, ale może bardziej drobiazgowe rozumowanie pozwala nam stwierdzić, że kula •<(♦<*>,r) (teraz nie zakładamy, że r^l) Jest zbiorem postaci |x€R: M<x4⁺°°)* (M, ♦ 00 > , gdzie McR Jest wyznaczone Jednoznacznie przez promień r«

Zbiór (M,b>, gdzie a,bcR będziemy nazywać przedziałem.

Czytelnik zachce sprawdzić, że w (R,p) każda kula K(-®,r) jest też pewnym przedziałem postaci <.-oo,-M), gdzie MeR,

2,    Zapytajmy co to znaczy, że w przestrzeni (R,p) cięg liczbowy ^xl^#x2***^{# ma} 9^ranlcS r*ńwnę +oo. Zgodnie 2 definicję 1.3 oznaczę to, ż#

A V A f>(*_,■*■»)< e

S > 0 n e N neN, a > n

Nie tracęc na ogólności rozumowania, możemy przyjęć, że &<1. Wówczas warunek P(^xm» +o°)>£ oznacza, że x_m c (M,*°°),gdzie H>0, bowiem x_m jest liczbę.

9 w przestrzeni (R,p) ozna-

Ostaticznie otrzymujemy, że lim x * cza, iż    m—o® »

A V A ^X-^>M

M > 0 neN meN, m > n