DSCN1142

Ponieważ na czworokącie można opisać okrąg, więc jego pole wyraża się wzorem (patrz zad. 5.30)

S = y/(p - a)(p - b)(p — c){p -d).

Skoro w ten czworokąt można wpisać okrąg, więc a + c = b + d.

Wobec tego

a+b+c+d

p — a =----a = a + c — a = c,

, a+b+c+d

p — b -----b = b + d — b = d,

a+b+c+d

p — c -----c = a + c — c — a,

a+b+c+d ,    ,

p — d =-----d — b,

zatem

S = yjabcd.

5.37. Wskazówka. Najpierw należy wykazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielokąta foremnego. Rozpatrując dowolny wielokąt wypukły W o wszystkich kątach równych. Konstruujemy najpierw wielokąt foremny W_t o następujących właściwościach:

a)    jednym z boków wielokąta W₁ jest najdłuższy bok wielokąta

W,

b)    liczba wierzchołków wielokąta W_l jest równa liczbie wierzchołków wielokąta W,

c)    We W_x.

5.38. Z warunków zadania wynika, że \DH\ m \HE\ ~ p \DH\ + \HE\ = h,

więc

\DH\ h - \DH\

= —, stąd \DH\ = P

mh

p + m'

Analogicznie

rozumując, otrzymujemy \HE\ =

ph

p + m’

Ponieważ pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABKL i LKCD, więc

(a + b)h _ a + \KL\^ ph \KL\ + b mh 2    2 p + m 2 p + m*

Po odpowiednich przekształceniach z powyższej równości otrzy-mujemy:

5.39. Wprowadzamy oznaczenia:

\EF\ = x, \DM\ = h_lt

\GH\ = y, \DN\ = h₂. (rys. 5.39)

D

C

Rys. 5.39

Prosta równoległa do CB i przechodząca przez punkt D przecina odcinki GH i EF odpowiednio w punktach K i L.

Z podobieństwa trójkątów ELD i GKD wynika, że

Porównując pola trapezów EFCD i GHCD mamy równość

2(6 + y)h_t = (x + b)h₂. ||

skąd

n\ hi =²⁽⁶ ± y)

ęĘ x + b \

Z równości (1) i (2) po przekształceniach otrzymujemy

(3)    ly² = x² + b².

Podobnie porównując pola trapezów ABCD i EFCD znajdujemy zależność

(4)    3x² = 2a² + b\

Po rozwiązaniu układu równań (3) i (4) mamy:

ł-

x =

^fa² 4- 2b²

141